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Una expansión Piramide Egipcia del número π

Posted by Albert Zotkin en febrero 23, 2013

El número \pi puede ser expresado mediante multitud de fórmulas. Una de ellas es la siguiente:

\displaystyle  \cfrac{\pi}{2}=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{n!}{(2 n+1)\text{!!}}  (1)

Es decir:

\displaystyle  \cfrac{\pi}{2}= \cfrac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty}\cfrac{(n!)^2\ 2^{n+1}}{(2n+1)!}= \sum_{n=0}^{\infty} \cfrac{n!}{(2n+1)!!}= \\ \\ \\   = 1+ \frac{1}{3}+ \frac{1 \times 2}{3 \times 5}+ \frac{1 \times 2 \times 3}{3 \times 5 \times 7}+ \frac{1 \times 2 \times 3 \times 4}{3 \times 5 \times 7 \times 9}+\dots = \\ \\ \\   = 1+\frac{1}{3} \left (1+\frac{2}{5}\left (1+\frac{3}{7}\left (1+\frac{4}{9}\left (1+\dots\right)\right)\right) \right )  (2)
Esto significa que podemos construir la fracción continua ascendente (espejo), así:

\displaystyle  \cfrac{\pi}{2}=1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{\dots}{(17/8)}}{(15/7)}}{(13/6)}}{(11/5)}}{(9/4)}}{(7/3)}}{(5/2)}}{(3/1)}  (3)

Ahora, duplicamos dicha expansión para obtener la configuración piramidal egipcia de \pi:

\displaystyle  \pi=1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1}{(17/8)}}{(15/7)}}{(13/6)}}{(11/5)}}{(9/4)}}{(7/3)}}{(5/2)}}{(3/1)}+\cfrac{\cfrac{\cfrac{\cfrac{\cfrac{\cfrac{\cfrac{\cfrac{1}{(17/8)}+1}{(15/7)}+1}{(13/6)}+1}{(11/5)}+1}{(9/4)}+1}{(7/3)}+1}{(5/2)}+1}{(3/1)}+1

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Una identidad natural

Posted by Albert Zotkin en febrero 21, 2013

Si intentamos imitar el método ideado por la creatividad de la mente de Ramanujan en el post anterior, lo cual es por supuesto, bastante dificil, podemos intentar algo como lo siguiente. Sea la fracción continua espejo:

\displaystyle  A=1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{\dots}{20}}{18}}{16}}{14}}{12}}{10}}{8}}{6}}{4}}{2}  (1)

Es decir:

\displaystyle  A=\left (1+\cfrac{1}{2\times 4} +\cfrac{1}{2 \times 4\times 6}+\cfrac{1}{2\times 4\times 6\times 8} + \dots \right ) =\sum _{n=0}^{\infty } \cfrac{1}{(2 n)!!}  (2)
donde, obviamente (2n)!! es el doble factorial de los números pares. Podemos comprobar que dicha fracción continua espejo converge hacia:

\displaystyle  A = \sqrt{e}  (3)
Ahora, por otro lado, consideremos la fracción continua siguiente:

\displaystyle  C=1+\cfrac{2}{3+\cfrac{4}{5+\cfrac{6}{7+\cfrac{8}{9+\cfrac{10}{11+\dots}}}}}  (4)
Podemos comprobar que dicha fracción continua converge hacia (esta se la debemos a Euler):

\displaystyle  C= \left (\sqrt{e} -1\right )^{-1}  (5)

Por lo tanto su recíproco B converge hacia

\displaystyle  B= \cfrac{1}{C}=\sqrt{e} -1  (6)

lo cual significa que:

\displaystyle  A-B = 1  (7)

es decir, tenemos la identidad:

\displaystyle  \cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{\dots}{20}}{18}}{16}}{14}}{12}}{10}}{8}}{6}}{4}}{2} \ = \  \cfrac{1}{1+\cfrac{2}{3+\cfrac{4}{5+\cfrac{6}{7+\cfrac{8}{9+\cfrac{10}{11+\dots}}}}}}  (8)

Otra identidad natural surge de la misma forma cuando consideramos la fracción continua espejo:

\displaystyle  D=1+\cfrac{3+\cfrac{5+\cfrac{7+\cfrac{9+\cfrac{11+\cfrac{\dots}{12}}{10}}{8}}{6}}{4}}{2}   (9)

La cual converge hacia D=2\sqrt{e}. Y de forma concisa podemos expresarlo así:

\displaystyle  D=\sum _{n=0}^{\infty } \cfrac{(2 n+1 )}{(2 n)!!} =2\sqrt{e}  (10)

Por lo tanto, junto a (5), tenemos

\displaystyle  \cfrac{D}{2} - \cfrac{1}{C} = 1  (11)

es decir:

\displaystyle  \cfrac{3+\cfrac{5+\cfrac{7+\cfrac{9+\cfrac{11+\cfrac{\dots}{12}}{10}}{8}}{6}}{4}}{4} = \cfrac{1}{1+\cfrac{2}{3+\cfrac{4}{5+\cfrac{6}{7+\cfrac{8}{9+\cfrac{10}{11+\cfrac{12}{\dots}}}}}}}    (12)

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El casco vikingo de Ramanujan

Posted by Albert Zotkin en febrero 21, 2013

Ramanujan nos ofreció esta preciosa obra de arte matemático, donde aparecen unidos los números e y \pi

\displaystyle  \sqrt{\cfrac{e\pi}{2}}=\left (1+\cfrac{1}{3\times 5}  +\cfrac{1}{3 \times 5\times 7}+\cfrac{1}{3\times 5\times 7\times 9} + \dots \right ) + \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{3}{1+\cfrac{4}{1+\cfrac{5}{\dots}}}}}}  (1)
Vemos que el primero de esos dos sumandos es en realidad una fracción continua espejo. Es decir:

\displaystyle  1\ +\ \cfrac{1}{3 \times 5}\ + \ \cfrac{1}{3 \times 5 \times 7}\ + \ \dots = 1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{\dots}{21}}{19}}{17}}{15}}{13}}{11}}{9}}{7}}{5}}{3}  (2)
Esta curiosa configuración de fracciones continuas nos ofrece la apariencia de un “casco vikingo”, con un sumando expandiendose infinitamente hacia arriba y el otro expandiendose infinitamenete hacia abajo,

\displaystyle  \sqrt{\cfrac{e\pi}{2}}=1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{\dots}{21}}{19}}{17}}{15}}{13}}{11}}{9}}{7}}{5}}{3}\ +\  \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{3}{1+\cfrac{4}{1+\cfrac{5}{\dots}}}}}}  (3)
Veamos ahora más detenidamente cada uno de esos dos sumandos. El primer sumando, A, puede ser expresado de forma más sucinta así

\displaystyle  A= 1\ +\ \cfrac{1}{3 \times 5}\ + \ \cfrac{1}{3 \times 5 \times 7}\ + \ \dots =\sum _{n=0}^{\infty } \cfrac{1}{(2 n +1)!!}  (4)
donde, obviamente (2 n +1)!! es el doble factorial de los números impares. Es también obvio que ese sumando A converge, y su valor es:

\displaystyle  A=\sum _{n=0}^{\infty } \cfrac{1}{(2 n +1)!!} = \sqrt{\frac{\pi  e}{2}}\  \text{erf}\left (\frac{1}{\sqrt{2}}\right)  (5)

donde \text{erf} es la funcion error.

Veamos ahora el otro sumando B, que es como vemos, el recíproco de una fracción continua ordinaria, C, B=1/C. Dicha fracción continua C converge hacia el valor:

\displaystyle  C=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{3}{1+\cfrac{4}{1+\cfrac{5}{\dots}}}}} = \cfrac{1}{\sqrt{\frac{\pi  e}{2}}\ \text{erfc}\left (\cfrac{1}{\sqrt{2}}\right )}  (6)

donde \text{erfc} es la función error complementaria. Por lo tanto, B converge hacia:

\displaystyle  B=\cfrac{1}{C} =\sqrt{\frac{\pi  e}{2}}\ \text{erfc}\left (\cfrac{1}{\sqrt{2}}\right )  (7)

Ahora sólo nos queda demostrar que efectivamente,

\displaystyle  \sqrt{\cfrac{e\pi}{2}}= A + B = \sqrt{\frac{\pi  e}{2}}\  \text{erf}\left (\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \ +  \ \sqrt{\frac{\pi  e}{2}}\ \text{erfc}\left (\cfrac{1}{\sqrt{2}}\right )  (8)

y dicha demostración es muy fácil, ya que

\displaystyle  A + B = \sqrt{\frac{\pi  e}{2}} \left (  \text{erf}\left (\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \ +  \ \text{erfc}\left (\cfrac{1}{\sqrt{2}}\right ) \right ) =\\ \\  = \sqrt{\frac{\pi  e}{2}} \left (  \text{erf}\left (\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \ +  \ 1-\text{erf}\left (\cfrac{1}{\sqrt{2}}\right ) \right ) =\sqrt{\cfrac{e\pi}{2}}  (9)

puesto que la función error complementaria se define precisamente como \text{erfc}(x) =1-\text{erf}(x). La mente creativa de Ramanujan ideó una simple suma para que la función de error erf se desvaneciese junto a su función de error complementaria, para que sólo quedase el factor \sqrt{\frac{e\pi}{2}}. Es más que evidente que Ramanujan conocía previamente el valor del sumando A y el valor de convergencia de la fracción continua C. Su mente creativa se dio cuenta de que el reciproco de C (B=1/C), al ser sumando a A eliminaba de un tiró las funciones erf y su complementaria erfc, quedando sólo el notable factor ya mencionado arriba.

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La transformada espejo de una función

Posted by Albert Zotkin en febrero 19, 2013

En el capítulo anterior expresé la serie de Taylor o de Maclaurin de una función mediante una fracción continua espejo:

\displaystyle   f(x)=f(a)+\cfrac{f^{(1)}(a)+\cfrac{f^{(2)}(a)+\cfrac{f^{(3)}(a)+\cfrac{f^{(4)}(a)+\cfrac{f^{(5)}(a)+\cfrac{f^{(6)}(a)+\cfrac{f^{(7)}(a)+\cfrac{f^{(8)}(a)+\dots}{(8/(x-a))}}{(7/(x-a))}}{(6/(x-a))}}{(5/(x-a))}}{(4/(x-a))}}{(3/(x-a))}}{(2/(x-a))}}{(1/(x-a))} (1)
Por lo tanto, podemos definir la transformada espejo de una función ƒ(x), como otra función distinta g(x) tal que:

\displaystyle   g(x)=f(a)+ \cfrac{1/(x-a)}{f^{(1)}(a) +\cfrac{2/(x-a)}{f^{(2)}(a) +\cfrac{3/(x-a)}{f^{(3)}(a) +\cfrac{4/(x-a)}{f^{(4)}(a) +\cfrac{5/(x-a)}{f^{(5)}(a) +\cfrac{6/(x-a)}{f^{(6)}(a) +\cfrac{7/(x-a)}{f^{(7)}(a) +\cfrac{8/(x-a)}{f^{(8)}(a) +\dots}}}}}}}}    (2)
Por ejemplo, la transformada espejo de:

\displaystyle  f(x)=\cfrac{x}{e^x-1}  (3)
sería:

\displaystyle    g(x)=\cfrac{x-2}{x}    (4)
La demostración la puedes encontrar aquí.

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Serie de Taylor expresada como fracción continua espejo (ascendente)

Posted by Albert Zotkin en febrero 18, 2013

La serie de Taylor de una función real o compleja ƒ(x) la cual es infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias:

\displaystyle f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots (1)
que puede ser escrita de forma más compacta así:

\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n} (2)

Si el punto esa=0la serie se llama serie de Maclaurin. Por lo tanto, podemos expresar dicha serie de Taylor como una fracción continua ascendente (espejo) así:

\displaystyle f(x)=f(a)+\cfrac{f^{(1)}(a)+\cfrac{f^{(2)}(a)+\cfrac{f^{(3)}(a)+\cfrac{f^{(4)}(a)+\cfrac{f^{(5)}(a)+\cfrac{f^{(6)}(a)+\cfrac{f^{(7)}(a)+\cfrac{f^{(8)}(a)+\dots}{(8/(x-a))}}{(7/(x-a))}}{(6/(x-a))}}{(5/(x-a))}}{(4/(x-a))}}{(3/(x-a))}}{(2/(x-a))}}{(1/(x-a))}   (3)
y la serie de Maclaurin así:

\displaystyle f(x)=f(0)+\cfrac{f^{(1)}(0)+\cfrac{f^{(2)}(0)+\cfrac{f^{(3)}(0)+\cfrac{f^{(4)}(0)+\cfrac{f^{(5)}(0)+\cfrac{f^{(6)}(0)+\cfrac{f^{(7)}(0)+\cfrac{f^{(8)}(0)+\dots}{(8/x)}}{(7/x)}}{(6/x)}}{(5/x)}}{(4/x)}}{(3/x)}}{(2/x)}}{(1/x)}   (4)
Veamos ahora dos ejemplos de series de Maclaurin expresadas como fracciones espejo:

\displaystyle \sinh x = \sum^{\infty}_{n=0} \cfrac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad, \forall x \\ \\ \sinh x =0+\cfrac{1+\cfrac{0+\cfrac{1+\cfrac{0+\cfrac{1+\cfrac{0+\cfrac{1+\cfrac{0+\dots}{(8/x)}}{(7/x)}}{(6/x)}}{(5/x)}}{(4/x)}}{(3/x)}}{(2/x)}}{(1/x)}   (5)
\displaystyle \cosh x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad , \forall x \\ \\ \cosh x =1+\cfrac{0+\cfrac{1+\cfrac{0+\cfrac{1+\cfrac{0+\cfrac{1+\cfrac{0+\cfrac{1+\dots}{(8/x)}}{(7/x)}}{(6/x)}}{(5/x)}}{(4/x)}}{(3/x)}}{(2/x)}}{(1/x)}   (6)
Las cuales colapsan así:

\displaystyle \sinh x=\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\dots}{(14\times 15/x^2)}}{(12\times 13/x^2)}}{(10\times 11/x^2)}}{(8\times 9/x^2)}}{(6\times 7/x^2)}}{(4\times 5/x^2)}}{(2\times 3/x^2)}}{(1/x)}   (7)
\displaystyle \cosh x =1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\dots}{(15\times 16/x^2)}}{(13\times 14/x^2)}}{(11\times 12/x^2)}}{(9\times 10/x^2)}}{(7\times 8/x^2)}}{(5\times 6/x^2)}}{(3\times 4/x^2)}}{(1\times 2/x^2)}  (8)
z = sinh (a+bi)

z = sinh (a+bi)

z = cosh (a+bi)

z = cosh (a+bi)

Saludos

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