TARDÍGRADOS

Ciencia en español

Fracción continua espejo

Posted by Albert Zotkin en enero 17, 2013

Buenos días. Siguiendo mi tónica de crear objetos matemáticos insólitos, hoy voy a crear algo que llamaré fracción continua espejo.

Fijémonos en la siguiente fracción continua genérica

\displaystyle   \displaystyle  x = a_0 + \cfrac{b_0}{a_1+ \cfrac{b_1}{a_2+ \cfrac{b_2}{a_3 + \cfrac{b_3}{a_4+  \cfrac{b_4}{a_5+\cfrac{b_5}{a_6+\cfrac{b_6}{a_7+\cfrac{b_7}{a_8+\cfrac{b_8}{a_9+\ddots}}}}}}}}}

Reflejemos ahora verticalmente esa imagen en un espejo para obtener esta otra

mirror

o sea, hemos creado una nueva clase de fracción continua en la que vemos que la iteración en lugar de crecer hacia abajo por el denominador de cada convergente, ahora crece hacia arriba por el numerador. Es decir, el número real x que he expresado arriba como fracción continua normal tiene su par espejo en x'

\displaystyle    x'=a_0+\cfrac{a_1+\cfrac{a_2+\cfrac{a_3+\cfrac{a_4+\cfrac{a_5+\cfrac{a_6+\cfrac{a_7+\cfrac{a_8+\cfrac{a_9+.^{.^{.}}}{b_8}}{b_7}}{b_6}}{b_5}}{b_4}}{b_3}}{b_2}}{b_1}}{b_0}

Pongamos ahora algunos ejemplos menos genéricos. Sabemos que 4/\pi tiene una expansión en fracción continua así,

\displaystyle   \displaystyle  \frac{4}{\pi} = 1 + \cfrac{1^2}{2+ \cfrac{3^2}{2+ \cfrac{5^2}{2 + \cfrac{7^2}{2+  \cfrac{9^2}{2+\cfrac{11^2}{2+\cfrac{13^2}{2+\cfrac{15^2}{2+\cfrac{17^2}{2+\ddots}}}}}}}}}

por lo tanto, su número real espejo será este otro

\displaystyle   \displaystyle  x'=1+\cfrac{2+\cfrac{2+\cfrac{2+\cfrac{2+\cfrac{2+\cfrac{2+\cfrac{2+\cfrac{2+\cfrac{2+.^{.^{.}}}{17^2}}{15^2}}{13^2}}{11^2}}{9^2}}{7^2}}{5^2}}{3^2}}{1^2}=\\ \\ {}\hspace{0.4cm}=3.2312947752046877\dots

Es fácil ver que estas fracciones continuas espejo pueden ser expresadas mediante la serie,

\displaystyle   x'=a_0+\frac{a_1}{b_0}+\frac{a_2}{b_0b_1}+\frac{a_3}{b_0b_1b_2}+\frac{a_4}{b_0b_1b_2b_3}+\frac{a_5}{b_0b_1b_2b_3b_4}+\frac{a_6}{b_0b_1b_2b_3b_4b_5}+ \\ \\ \\ {}\hspace{0.5cm}+\frac{a_7}{b_0b_1b_2b_3b_4b_5b_6}+\frac{a_8}{b_0b_1b_2b_3b_4b_5b_6b_7}+\frac{a_9}{b_0b_1b_2b_3b_4b_5b_6b_7b_8}+\dots

que más sucintamente puede expresarse como

\displaystyle   x'=a_0+\sum_{i=0}^{\infty} \cfrac{a_{i+1}}{\prod_{j=0}^{i} b_j }

lo cual significa que, por ejemplo, el número de Euler e, que sabemos puede ser expresado como

\displaystyle   e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\cdots

expresado como fracción continua espejo quedaría así

\displaystyle    e=1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+.^{.^{.}}}{9}}{8}}{7}}{6}}{5}}{4}}{3}}{2}}{1}

y esto significa que el número e es el número real espejo de este otro e', o lo que es lo mismo, e' es espejo de e:

\displaystyle    e' = 1 + \cfrac{1}{1+ \cfrac{2}{1+ \cfrac{3}{1 + \cfrac{4}{1+  \cfrac{5}{1+\cfrac{6}{1+\cfrac{7}{1+\cfrac{8}{1+\cfrac{9}{1+\ddots}}}}}}}}}  = \\ \\   =1.5251352761609813\dots

Este número tiene algo de historia dentro de las matemáticas, y resulta ser,

\displaystyle     e' = \cfrac{1}{\sqrt{\cfrac{\pi  e}{2}} \  \text{Erfc}\left (\cfrac{1}{\sqrt{2}}\right )}

donde Erfc es la función error complementaria. Las referencias de este curioso número están en B. C. Berndt, Y.-S. Choi y S.-Y. Kang, Problemas enviados por Ramanujan al Journal of the Indian Mathematical Society, A111129.

Pero, para finalizar este breve post, yo me quedo con el extraordinario descubrimiento que he hecho al definir qué es una fracción continua espejo, y cómo el número de Euler e puede ser elegantemente expresado mediante esa fracción continua espejo tan simple que he escrito arriba. De hecho, la función exponencial expresada como series de potencias

\displaystyle   e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots

puede ser expresada también como fracción continua espejo,

\displaystyle    e^x=1+\cfrac{x+\cfrac{x^2+\cfrac{x^3+\cfrac{x^4+\cfrac{x^5+\cfrac{x^6+\cfrac{x^7+\cfrac{x^8+\cfrac{x^9+.^{.^{.}}}{9}}{8}}{7}}{6}}{5}}{4}}{3}}{2}}{1}

O si se quiere, podemos simplificar aún más esa fracción continua espejo, disolviendo las potencias de la variable x e instalándola dentro del denominador de cada convergente. De esta forma tan inmensa y maravillosa, la cual merece ser enmarcada porque tal expresión me gusta y es inédita y original, y dará mucho juego para la demostración de teoremas muy profundos, finalizo este breve post,

\displaystyle    \boxed{e^x=1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+.^{.^{.}}}{(9/x)}}{(8/x)}}{(7/x)}}{(6/x)}}{(5/x)}}{(4/x)}}{(3/x)}}{(2/x)}}{(1/x)}}

Saludos

4 comentarios to “Fracción continua espejo”

  1. […] Fracción continua espejo enero 17, 2013 […]

  2. JAVIER ANDRES CARO MARIO said

    La expansión de Engel

  3. JAVIER ANDRES CARO MARIO said

    Las expansiones de Engel son llamadas en honor a Friedrich Engel, quien las estudió en 1913.

    • Hola, gracias por comentar. Efectivamente, las expansiones de Engel son un caso particular de fracción continua espejo (fraccion continua ascendente), donde los sucesivos números ai son todos igual a 1.

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