TARDÍGRADOS

Ciencia en español

El enigma de la función arcotangente como imagen espejo de la función zeta de Riemann

Posted by Albert Zotkin en enero 30, 2013

Podemos escribir la función zeta de Riemann mediante la siguiente fracción continua espejo, de forma trivial, así:

\displaystyle    \zeta(s)= \cfrac{1^{-s}+\cfrac{2^{-s}+\cfrac{3^{-s}+\cfrac{4^{-s}+\cfrac{5^{-s}+\cfrac{\dots}{1}}{1}}{1}}{1}}{1}}{1}    (1)
Su correspondiente fracción continua ordinaria sería esta función:

\displaystyle  F(s)=\cfrac{1}{1^{-s}+\cfrac{1}{2^{-s}+\cfrac{1}{3^{-s}+\cfrac{1}{4^{-s}+\cfrac{1}{5^{-s}+\cfrac{1}{6^{-s}+\cfrac{1}{\dots}}}}}}}  (2)

Si dibujamos la gráfica de esa función para s real tendremos algo así,

Riemann2

Es decir, esa función F(s) puede ser descrita mediante algo muy parecido a esto:

\displaystyle  F(s) = -\cfrac{1}{\pi} \arctan (G(s))+\cfrac{1}{2}  (3)
donde G(s) es otra función de s, que aún desconocemos. Una inspección algo más detallada nos muestra que G(s) se comporta también como una función arcotangente, y que por lo tanto la función inicial F(s) es en realidad la composición recursiva de sucesivas funciones arcotangentes anidadas. La función F(s) corta al eje de ordenadas en el punto (0,\varphi-1), donde \varphi es el número áureo,

\displaystyle  \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,618033988749894848204586834365638117720309 \dots  (4)

Esa función F(s) es un misterio. Vemos que no es simétrica respecto del eje 1/2. También puede ser notable el hecho de que para un s entero positivo suficientemente alto, F(s) se aproxima a 1/2^s, y para s entero negativo suficientemente grande, F(s) se aproxima a (1-2^s). De igual forma, se puede proponer para F(s), una función arcotangente hiperbólica de la forma:

\displaystyle  F(s) = \cfrac{i}{\pi} \tanh^{-1} (G(s))+\cfrac{1}{2}  (5)
Obviamente, los ceros de F(s) serían todos de la forma

\displaystyle  F(s_0) =\cfrac{i}{\pi} \tanh^{-1} (G(s_0))+\cfrac{1}{2}=0 \\  \\   G(s_0)=\tanh \left (\cfrac{i\pi}{2} \right ) =\tilde{\infty}  (6)
Infinito complejo \tilde{\infty}, es un número complejo de magnitud infinita, pero fase indeterminada. Y eso nos indica que no hay raíces para F(s). Según la gráfica de arriba, F(s) nunca llega a cortar al eje s, por lo tanto no poseería ceros.

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