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La hipótesis blanda de Riemann

Posted by Albert Zotkin en febrero 3, 2016

Anoche mientras me entretenía con algunas sumas parciales de la función zeta de Riemann, me di cuenta de algo muy curioso, cuyo enunciado voy escribir seguidamente a modo de conjetura (hipótesis): Si para la suma parcial

\displaystyle \zeta_N= \sum_{n=1}^N \;\frac{1}{n^s}
el número complejo siguiente es una de sus raíces (ceros), z1 = σ + it, entonces este otro número complejo, z2, escrito en función del primero, posee la misma parte real:

\displaystyle z_2  = - \cfrac{\log(\zeta_{N-1}(z_1))}{\log(N)}
Mi conjetura es que sólo si z1 es un cero de ζN, entonces

\displaystyle \text{Re}(z_2) =  \text{Re}(z_1)=\sigma
A esta conjetura la llamo la Hipótesis blanda Riemann, y la vamos a ver en acción con dos sencillos ejemplos numéricos: Sea la siguiente ecuación:

\displaystyle 1+2^{-x}+3^{-x}=0

y uno de sus ceros, hasta una precisión de 50 decimales, es:

\displaystyle z_1 =0.4543970081950240272783427420109442288880- \\       3.5981714939947587422049363529208471165604i

. Por lo tanto el número z2 será:

\displaystyle z_2 = -\cfrac{\log(-1-2^{z_1})}{\log 3}
\displaystyle z_2 = 0.4543970081950240272783427420109442288880- \\ 2.1210302407654957970993444877464279628993i

Para la siguiente ecuación:

\displaystyle 1+2^{-x}+3^{-x}+4^{-x}=0

sabemos que uno de sus ceros, hasta una precisión de 50 decimales, es:

\displaystyle z_1 =0.502684148750165679490952980864893319283 -\\ 20.7799493688306204126178629816730434295i

. Por lo tanto el número z2 será:

\displaystyle z_2 = -\cfrac{\log(-1-2^{z_1}-3^{z_1})}{\log 4}
\displaystyle z_2 = 0.5026841487501656794909529808648933193 + \\ 1.8818513403053486355205517469102906214

Saludos

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