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Ciencia en español

La función Zeta de Riemann definida en términos de integrales múltiples

Posted by Albert Zotkin en enero 8, 2013

Es bien sabido que la función Zeta de Riemann puede ser expresada mediante la integral múltiple,

\displaystyle    \zeta(n)=\underset{n}{\underline{\ \int_0^1...\int_0^1}}\frac{\prod_{i=1}^{n}dx_i}{1-\prod_{i=1}^{n}x_i}

Pero, el otro día, cuando estudiaba la constante de Apéry, \zeta(3), expresada mediante la integral múltiple

\displaystyle    \zeta(3)= -\frac{1}{2}\int _0^1\int _0^1\frac{\ln(x y)}{1-x y}dxdy

descubrí, integrando con Mathematica, estas constantes zeta,

\displaystyle   \int_0^1 \frac{\ln x }{1-x } \, dx =-\frac{\pi ^2}{6} = - \zeta(2) \\ \\  \\  \int _0^1\int _0^1\frac{\ln(x y)}{1-x y}dxdy =-2\zeta(3) \\ \\ \\  \int _0^1\int _0^1\int _0^1\frac{\ln(x y z)}{1-x y z }dxdy dz =-\frac{\pi ^4}{30} = - 3\zeta(4) \\ \\ \\  \int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\frac{\ln(x y z w)}{1-x y z w}dxdy dz dw =-4 \zeta(5) \\ \\ \\   \int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\frac{\ln(x y z w t)}{1-x y z w t}dxdy dz dw dt =-\frac{\pi ^6}{189}= - 5\zeta(6) \\ \\  \\  \int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\frac{\ln(x y z w t r)}{1-x y z w t r}dxdy dz dw dt dr =-6\zeta(7) \\ \\  \\  \int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\frac{\ln(x y z w t r s)}{1-x y z w t r s}dxdy dz dw dt dr ds =-\frac{7\pi ^8}{9450}= - 7\zeta(8)

Es decir, por si nadie se había percatado hasta ahora, la función Zeta de Riemann también puede ser expresada mediante la integral múltiple siguiente:

\displaystyle    \zeta(n+1)=-\frac{1}{n}\ \underset{n}{\underline{\ \int_0^1...\int_0^1}} \dfrac{ \ln(\prod_{i=1}^{n}x_i) \ \prod_{i=1}^{n}dx_i}{1-\prod_{i=1}^{n}x_i}

Resultaría bastante sorprendente comprobar que esta última expresión de la función Zeta de Riemann en una integral múltiple no aparezca en ningún paper, ni hayan referencias al respecto. No puedo creerme que sea yo la primera persona que descubrió tal hecho. Le agradecería mucho a cualquier amable lector que pudiera ofrecerme alguna referencia que indicara que dicha integral múltiple ya fue descubierta y usada en la literatura de las matemáticas.

8 comentarios to “La función Zeta de Riemann definida en términos de integrales múltiples”

  1. amarashiki said

    No sé si estaría como tal, pero mira los papers de Don Zagier sobre Multiple Zeta Values, y la expresión de zeta (3) en términos de esa integral múltiple sobre el intervalo (0,1)^n me suena haberla visto en alguno de mis libros. TE lo confirmo en un rato. Sin embargo, la sucinta expresión como representación integral ya te digo que NO está explicitamente en ninguno de los libros de tablas matemáticas que tengo, y tengo 2 de los mejores: el CRC y el que yo llamo almanaque ruso. Al menos en esos dos, tu representación integral explícita no está. Sin embargo, sí me suena haber visto alguna vez de pasada en la teoría de Multiple Zeta Values algo si no igual, sí parecido a tu representación…Mira los papers de Zagier…

  2. amarashiki said

    Lo más parecido que puedo encontrar de momento es esta cosa donde parece que contiene una generalización interesante, échale un ojo: http://www.m-hikari.com/ijcms-2010/17-20-2010/sofoIJCMS17-20-2010.pdf

  3. amarashiki said

    A mí me suena haber visto alguna vez una representación integral de un zeta value como ésa (sobre el hipercubo unidad de una función multivariable), pero no acierto a encontrar o recordar el sitio donde lo vi en estos momentos. Déjame unos días y te cuento, que wordpress me sigue dando muuuchos problemas, jajaja. A ver si logro apañar lo de las unidades, que ando falto de tiempo…

  4. amarashiki said

    En wolfram tienes una identidad integral sobre el hipercubo que es “casi” tu fórmula, sólo hace falta un cambio de variable astuto. http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html

    • Gracias amarashiki por tu amabilidad, pero de momento esa integral múltiple no aparece en ninguna referencia, y me resisto a pensar que yo sea el descubridor de dicho monstruito. Si, lo de wolfram ya lo había mirado. De hecho la primera integral múltiple que aparece en mi post la saqué precisamente de ahí. Como último recurso, si no se encuentra nada, lo mejor es demostrar en un teorema que esa integral múltiple es cierta.

      Saludos

  5. amarashiki said

    Acabo de postear sobre este tópico en mi blog, y he hecho mi propia contribución al asunto. A ver si alguno de los matemáticos que siguen mi blog se pican y nos dicen algo sobre si esas integrales han sido escritas o no en alguna parte antes (sé que al menos 3 matemáticos de alta categoría siguen mi blog, a ver si contestan). Saludos.

  6. […] Regards https://tardigrados.wordpress.com/2013/01/08/la-funcion-zeta-de-riemann-definida-en-terminos-de-integ… […]

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