TARDÍGRADOS

Ciencia en español

1+1+1+1+1+…=-1/2

Posted by Albert Zotkin en octubre 5, 2014

La serie infinita N = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + … es divergente ya que su suma es N = ∞. Por otro lado, la serie divergente de Grandi, G = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …, puede ser sumada mediante distintos métodos de regularización, y su más destacable suma regularizada es G = 1/2. En este breve post voy a demostrar que la serie infinita N puede ser igualmente sumada. Partimos desde G y le sumamos dos veces N de la siguiente forma:

\displaystyle  G +2N = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +\dots +\\   2(1+1+1+1+1+1+\dots) \\ \\   G +2N = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +\dots \\   \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2\ \ \ +\ \ \ 2\ \ \ +\ \ \ 2\ \ \ +\ \ \ \dots} \\ \\   G +2N = 1+1+1+1+1+1+\dots = N    (1)

es decir, tenemos que:

\displaystyle  G +2N = N \\  G = -N \\   N = -G  (2)
y como el principal valor de la suma reguralizda de la serie G de Grandi es 1/2, tenemos que la serie infinita N posee una suma regularizada de:

\displaystyle  N = 1+1+1+1+1+1+1\dots= -\frac{1}{2} \\   \sum_{n=1}^\infty 1= -\frac{1}{2}  (3)
pero, ¿por qué 1/2 es el principal valor de la suma regulariza de la serie de Grandi?. Veamos. La serie de Grandi puede escrita de la siguiente forma:

\displaystyle  G = 1-(1-1+1-1+1-1\dots) \\   (4)

es decir, tenemos que

\displaystyle  G = 1-G  \\ \\  2G = 1 \\ \\  G =\frac{1}{2}  (5)

Saludos

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