TARDÍGRADOS

Ciencia en español

Conexión entre la Conjetura de Kepler y los números primos através de la Constante tridimensional de Hermite

Posted by Albert Zotkin en septiembre 10, 2016

Hola amigos de Tardígrados. Hoy os voy a presentar un espectacular hallazgo matemático hecho por mí hoy mismo. Os lo presento sin dilación ya mismo:

\displaystyle \sum_{i=1}^\infty \cfrac{(-1)^{\pi(i)-\pi(i-1)}}{i^2}= \frac{\pi}{3\sqrt{2}} (1)
donde π(x) es la función contador de números primos, no confundir con el número irracional trascendente π, el cual aparece en el lado derecho de la fórmula. Es decir, esa función contador nos dice cuántos número primos hay desde 0 hasta el número real x. La identidad que he hallado es simplemente la Constante de Hermite en tres dimensiones, o al menos se le aproxima mucho, pues esa fórmula la he comprobado hasta el término i = 1000000. Parece converger rápidamente hacia ese limite.

Respecto a la función contador de números primos expresada como diferencia:

\displaystyle \chi _{{{\mathbb  {P}}}}(n)=\pi(n)-\pi(n-1)

nos define exactamente una función característica χP(n) de números primos, es decir, una función tal que si n es primo entonces esa función es χP(n) = 1, y en caso contrario es χP(n) = 0.
En cuanto al número

\displaystyle  \frac{\pi}{3\sqrt{2}} = 0.740480489693061041169313495\dots

que es la llamada Constante de Hermite en tres dimensiones, es simplemente, la máxima densidad que se puede alcanzar empaquetando esferas tridimensionales, tal como se explica en la Conjetura de Kepler.

De igual forma que hemos definido una función característica de los número primos, también podemos definir una para los números no primos, es decir, para los números compuestos, así:

\displaystyle \chi _{{{\mathbb  {NP}}}}(n)=1-\pi(n)-\pi(n-1)

La función caracteristica χP(n) define una sucesión de ceros y unos, por lo que podemos considerar que representa a un número real expresado en sistema de numeración de base 2. Si la coma de ese número decimal la ponemos entre el primer digito a la izquierda y el siguiente tendremos en dicha base 2 el número:

\displaystyle \rho' =0.011010100010100010100010000\ldots _{2}

el cual, en base 10, se expresaría así:

\displaystyle \rho' =0.414682509851111660248109622\ldots

A este número real, el cual es fácil demostrar que es un número irracional, se le llama Constante Prima, y puede ser definida asi:

\displaystyle \rho' =\sum _{{p}}{\frac  {1}{2^{p}}}=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac  {\chi _{{{\mathbb  {P}}}}(n)}{2^{n}}}

Podemos hacer lo mismo con los números compuestos y obtener la constante de los números compuestos asi:

\displaystyle \rho =\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac  {\chi _{{{\mathbb  {NP}}}}(n)}{2^{n}}} =0.085317490148888339751890377845692291634\ldots

Es fácil ver que \rho +\rho'=1/2. Pero, toda esta presentación de estas dos funciones características complementarias viene porque, al igual que hice al principio presentando la identidad (1), ahora también puedo hacer lo mismo, pero con la función caracteristica de los no primos, y obtenemos:

\displaystyle \sum_{i=1}^\infty \cfrac{(-1)^{\chi _{{{\mathbb  {NP}}}}(i)}}{i^2}= \sum_{i=1}^\infty \cfrac{(-1)^{1-\pi(i)-\pi(i-1)}}{i^2}=-\frac{\pi}{3\sqrt{2}} (2)
Intentemos ahora simplificar un poco las identidades (1) y (2). Fijémonos que podemos expresar

\displaystyle (-1)^{\chi _{{{\mathbb  {P}}}}(i)}= 1- 2 \chi _{{{\mathbb  {P}}}}(i) (3)
por lo que (1) puede ser escrita así:

\displaystyle \sum_{i=1}^\infty \cfrac{(-1)^{\chi _{{{\mathbb  {P}}}}(i)}}{i^2}= \sum_{i=1}^\infty \cfrac{1- 2 \chi _{{{\mathbb  {P}}}}(i)}{i^2}=
\displaystyle =\sum_{i=1}^\infty \cfrac{1}{i^2}- 2 \sum_{i=1}^\infty \cfrac{\chi _{{{\mathbb  {P}}}}(i)}{i^2} \\ \\ \\  \sum_{i=1}^\infty \cfrac{1}{i^2} =\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6} \\ \\ \\  2 \sum_{i=1}^\infty \cfrac{\chi _{{{\mathbb  {P}}}}(i)}{i^2} = 2 \sum_{i=1}^\infty \cfrac{i\chi _{{{\mathbb  {P}}}}(i)}{i^3}=2 \sum_p \cfrac {p}{\pi(p)^3}
Por lo que, si la conjetura es cierta, tendremos que el siguiente sumatorio, que corre a lo largo de los infinitos números primos, está bastante relacionado con el número π:

\displaystyle \sum_p \cfrac {p}{\pi(p)^3} = \frac{\pi ^2-\pi \sqrt{2}}{12} (4)
donde, obviamente, π(p) es la función contador del número primo p, es decir, el orden que ocupa ese número primo en la sucesión de números primos.

Desafortunadamente la conjetura es falsa, ya que como demuestro en esta pregunta en math.stackexchange,

\displaystyle \sum_{i=1}^\infty \cfrac{(-1)^{\chi _{{{\mathbb  {P}}}}(i)}}{i^2}= \sum_{i=1}^\infty \cfrac{1- 2 \chi _{{{\mathbb  {P}}}}(i)}{i^2} = \sum_{i=1}^\infty \cfrac{1}{i^2}- 2 \sum_{i=1}^\infty \cfrac{\chi _{{{\mathbb  {P}}}}(i)}{i^2} = \\ \\ =\zeta(2)-2 \sum_p \cfrac{1}{p^2} = \zeta(2)-2 P(2)= \\ \\ \\ = 0.7404392267660954394593\ldots
donde P(2) es la función zeta prima de 2. Porque,

\displaystyle \frac{\pi}{3\sqrt{2}}\neq \zeta(2)-2 P(2)

y efectivamente,

\displaystyle \frac{\pi ^2 -\pi \sqrt{2}}{12}<P(2)

Saludos

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