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Ciencia en español

Fracción continua espejo: continuación II

Posted by Albert Zotkin en enero 18, 2013

Consideremos ahora tres fracciones continuas en forma cerrada que fueron descubiertas por Euler (cf. Euler 1775):

\displaystyle    \cfrac{I_1(2)}{I_0(2)}=0+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{5+\dots}}}}} = \\ \\ \\   {}\hspace{1.3cm}=0.697774657964007982...  (1)

donde I_1(2) \ \small{ \text{y}} \ I_0(2) son funciones Bessel de primera clase. Computemos ahora la fracción continua espejo de (1):

\displaystyle    A=0+\cfrac{1+\cfrac{2+\cfrac{3+\cfrac{4+\cfrac{5+\cfrac{\dots}{1}}{1}}{1}}{1}}{1}}{1} = \\ \\   {}\hspace{0.4cm} =\infty  (2)

vemos que esa fracción continua espejo diverge, ya que cada denominador de cada convergente es la unidad mientras que el numerador crece en cada iteración. Si expresamos esa fracción continua espejo en forma de serie infinita tendremos,

\displaystyle    A= \sum_{i=1}^{\infty} i  (3)

o sea, tenemos la suma de los sucesivos números naturales. Esto nos dice que evidentemente estamos ante la presencia de la función zeta de Riemann, que escrita en forma de fracción continua espejo sería la expresión trivial siguiente,

\displaystyle    \zeta(s)= \cfrac{1^{-s}+\cfrac{2^{-s}+\cfrac{3^{-s}+\cfrac{4^{-s}+\cfrac{5^{-s}+\cfrac{\dots}{1}}{1}}{1}}{1}}{1}}{1}  (4)
Consideremos ahora el siguiente ejemplo de fracción continua que nos proporcionó Euler en 1775,

\displaystyle    \left (e -1\right )^{-1}=0+\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{2+\cfrac{3}{3+\cfrac{4}{4+\cfrac{5}{5+\dots}}}}} = \\ \\ \\   {}\hspace{1.3cm}=0.58197670686932642...  (5)

con lo que su fracción continua espejo sería,

\displaystyle    B=0+\cfrac{1+\cfrac{2+\cfrac{3+\cfrac{4+\cfrac{5+\cfrac{\dots}{6}}{5}}{4}}{3}}{2}}{1} = \\ \\   {}\hspace{0.4cm} =2.718281828459045\dots  (6)

es decir, obtenemos el notable resultado de que el número B es precisamente el número de Euler e.

Sigamos con el último ejemplo que nos proporcionó Euler,

\displaystyle    \left (\sqrt{e} -1\right )^{-1}=1+\cfrac{2}{3+\cfrac{4}{5+\cfrac{6}{7+\cfrac{8}{9+\cfrac{10}{11+\dots}}}}} = \\ \\ \\   {}\hspace{1.3cm}=1.54149408253679...  (7)

ahora construyamos y computemos su fracción continua espejo,

\displaystyle    C=1+\cfrac{3+\cfrac{5+\cfrac{7+\cfrac{9+\cfrac{11+\cfrac{\dots}{12}}{10}}{8}}{6}}{4}}{2} = \\ \\   {}\hspace{0.4cm} =3.297442541400256293697301575628\dots  (8)

Y es fácil comprobar que este número C es precisamente :

\displaystyle    C=3.297442541400256293697301575628\dots=2\sqrt{e}  (9)

Saludos

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