Hola amigos de Tardígrados. Hoy voy a intentar definir dos nuevas operaciones aritméticas, que llamaré infrasuma e infrarresta. Empecemos. Sabemos que el logaritmo neperiano de un producto de dos números reales es igual a la suma de los logaritmos neperianos de sus factores
 |
(1) |
y para la división tenemos que
 |
(2) |
Siguiendo este proceso operativo, nos podemos preguntar si existe un operador binario ⊕ tal que
 |
(3) |
Por lo tanto, desde el operador binario suma + deberiamos poder definir ese operador binario ⊕ que llamaríamos infrasuma. De igual forma deberíamos poder definir un operador binario ⊖ tal que
 |
(4) |
De hecho es posible expresar esa nuevas operaciones binarias de forma explícita así:
 |
(5) |
La demostración de esto último es fácil, pues sabemos que:
con lo cual tenemos que:
 |
(6) |
La demostración para la infrarresta se hace igual:
 |
(7) |
A continuación se puede comprobar, por ejemplo, si el operador binario infrasuma ⊕ forma un grupo dentro del conjunto de los números reales. Se han de cumplir las siguientes propiedades.
1. Clausura respecto de la infrasuma ⊕: para dos números reales
x e
y,
x⊕
y debe ser un número real Comprobamos que para el caso particular
x = 0,
y = 0, tendriamos,
 |
(8) |
El caso por el que la clausura no se cumpliría sería para log(0), pero para que eso ocurriese en una infrasuma debería darse el caso especial exp(
y–
x) = -1, pero eso caso sólo resultaria cuando:
siendo n un número entero impar. Es decir, y – x sería un número imaginario puro, pero como x e y son números reales, su resta nunca puede ser un número complejo (imaginario puro).
2. Elemento identidad:
 |
(9) |
Pero, eso no siempre es cierto para todo número real x. Por ejemplo:
Por lo tanto, ya no sería necesario seguir comprobando si se cumplen las demás propiedades de un grupo, como son la propiedad asociativa y el elemento inverso. La infrasuma no formaría un grupo en el conjunto de los números reales, y tampoco la infrarresta. Pero, estamos buscando un número real y tal que x⊕y = x. Con lo cual, sólo para el caso y = -∞ se cumpliría eso. Pero, -∞ (menos infinito) no es ningún número, por lo tamto la infrasuma no posee elemento identidad.
Supongamos que la infrasuma posee elemento identidad – ∞, entonces podemos seguir viendo si se complen las demás propiedades para formar un grupo. Así, para el elemento inverso hay que ver si
x⊕
x’ =
x’⊕
x = – ∞, donde
x’ sería el inverso de
x. Al resolver esa ecuación obtenemos la solución
 |
(10) |
Es decir, el inverso de x no sería un número real sino complejo con parte imaginaria
.
Saludos
Me gusta esto:
Me gusta Cargando...