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Números de Bell y las fracciones continuas espejo

Posted by Albert Zotkin en enero 24, 2013

Consideremos la siguiente clase de fracciones continuas espejo:

\displaystyle A_n=0+\cfrac{1^n+\cfrac{2^n+\cfrac{3^n+\cfrac{4^n+\cfrac{5^n+\cfrac{6^n+\cfrac{7^n+\cfrac{\dots}{8}}{7}}{6}}{5}}{4}}{3}}{2}}{1} (1)

Ya sabemos que las fracciones continuas espejo poseen la fórmula genérica,

\displaystyle a_0+\sum_{i=0}^{\infty} \cfrac{a_{i+1}}{\prod_{j=0}^{i} b_j } (2)

Por lo tanto para esta clase de fracciones continuas espejo que estamos considerando ahora, tenemos que:

\displaystyle A_n=\sum_{i=0}^{\infty} \cfrac{(i+1)^n}{\prod_{j=0}^{i}(j+1) } (3)

y esto significa que esa clase de números A_n están relacionados con los números de Bell, los cuales satisfacen la fórmula de Dobinski,

\displaystyle B_n=\frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!} (4)

Efectivamente, es fácil ver que,

\displaystyle B_n=\cfrac{A_n}{e} (5)

Los números de Bell son la secuencia infinita,

\{1,1,2,5,15,52,203,877,4140,21147,115975,\dots\} (Secuencia A000110 en OEIS)

Para quien desee saber más a cerca de los números de Bell le recomiendo Bell Number.

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