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La transformada espejo de una función

Posted by Albert Zotkin en febrero 19, 2013

En el capítulo anterior expresé la serie de Taylor o de Maclaurin de una función mediante una fracción continua espejo:

\displaystyle  f(x)=f(a)+\cfrac{f^{(1)}(a)+\cfrac{f^{(2)}(a)+\cfrac{f^{(3)}(a)+\cfrac{f^{(4)}(a)+\cfrac{f^{(5)}(a)+\cfrac{f^{(6)}(a)+\cfrac{f^{(7)}(a)+\cfrac{f^{(8)}(a)+\dots}{(8/(x-a))}}{(7/(x-a))}}{(6/(x-a))}}{(5/(x-a))}}{(4/(x-a))}}{(3/(x-a))}}{(2/(x-a))}}{(1/(x-a))} (1)
Por lo tanto, podemos definir la transformada espejo de una función ƒ(x), como otra función distinta g(x) tal que:

\displaystyle  g(x)=f(a)+ \cfrac{1/(x-a)}{f^{(1)}(a) +\cfrac{2/(x-a)}{f^{(2)}(a) +\cfrac{3/(x-a)}{f^{(3)}(a) +\cfrac{4/(x-a)}{f^{(4)}(a) +\cfrac{5/(x-a)}{f^{(5)}(a) +\cfrac{6/(x-a)}{f^{(6)}(a) +\cfrac{7/(x-a)}{f^{(7)}(a) +\cfrac{8/(x-a)}{f^{(8)}(a) +\dots}}}}}}}}   (2)
Por ejemplo, la transformada espejo de:

\displaystyle f(x)=\cfrac{x}{e^x-1} (3)
sería:

\displaystyle   g(x)=\cfrac{x-2}{x}   (4)
La demostración la puedes encontrar aquí.

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Serie de Taylor expresada como fracción continua espejo (ascendente)

Posted by Albert Zotkin en febrero 18, 2013

La serie de Taylor de una función real o compleja ƒ(x) la cual es infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias:

\displaystyle f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots (1)
que puede ser escrita de forma más compacta así:

\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n} (2)

Si el punto esa=0la serie se llama serie de Maclaurin. Por lo tanto, podemos expresar dicha serie de Taylor como una fracción continua ascendente (espejo) así:

\displaystyle f(x)=f(a)+\cfrac{f^{(1)}(a)+\cfrac{f^{(2)}(a)+\cfrac{f^{(3)}(a)+\cfrac{f^{(4)}(a)+\cfrac{f^{(5)}(a)+\cfrac{f^{(6)}(a)+\cfrac{f^{(7)}(a)+\cfrac{f^{(8)}(a)+\dots}{(8/(x-a))}}{(7/(x-a))}}{(6/(x-a))}}{(5/(x-a))}}{(4/(x-a))}}{(3/(x-a))}}{(2/(x-a))}}{(1/(x-a))}   (3)
y la serie de Maclaurin así:

\displaystyle f(x)=f(0)+\cfrac{f^{(1)}(0)+\cfrac{f^{(2)}(0)+\cfrac{f^{(3)}(0)+\cfrac{f^{(4)}(0)+\cfrac{f^{(5)}(0)+\cfrac{f^{(6)}(0)+\cfrac{f^{(7)}(0)+\cfrac{f^{(8)}(0)+\dots}{(8/x)}}{(7/x)}}{(6/x)}}{(5/x)}}{(4/x)}}{(3/x)}}{(2/x)}}{(1/x)}   (4)

Veamos ahora dos ejemplos de series de Maclaurin expresadas como fracciones espejo:

\displaystyle \sinh x = \sum^{\infty}_{n=0} \cfrac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad, \forall x \\ \\ \sinh x =0+\cfrac{1+\cfrac{0+\cfrac{1+\cfrac{0+\cfrac{1+\cfrac{0+\cfrac{1+\cfrac{0+\dots}{(8/x)}}{(7/x)}}{(6/x)}}{(5/x)}}{(4/x)}}{(3/x)}}{(2/x)}}{(1/x)}   (5)
\displaystyle \cosh x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad , \forall x \\ \\ \cosh x =1+\cfrac{0+\cfrac{1+\cfrac{0+\cfrac{1+\cfrac{0+\cfrac{1+\cfrac{0+\cfrac{1+\dots}{(8/x)}}{(7/x)}}{(6/x)}}{(5/x)}}{(4/x)}}{(3/x)}}{(2/x)}}{(1/x)}   (6)
Las cuales colapsan así:

\displaystyle \sinh x=\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\dots}{(14\times 15/x^2)}}{(12\times 13/x^2)}}{(10\times 11/x^2)}}{(8\times 9/x^2)}}{(6\times 7/x^2)}}{(4\times 5/x^2)}}{(2\times 3/x^2)}}{(1/x)}   (7)
\displaystyle \cosh x =1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\dots}{(15\times 16/x^2)}}{(13\times 14/x^2)}}{(11\times 12/x^2)}}{(9\times 10/x^2)}}{(7\times 8/x^2)}}{(5\times 6/x^2)}}{(3\times 4/x^2)}}{(1\times 2/x^2)}  (8)
z = sinh (a+bi)

z = sinh (a+bi)

z = cosh (a+bi)

z = cosh (a+bi)

Saludos

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