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Lemniscata (ad infinitum ∞) convergiendo hacia el número π

Posted by Albert Zotkin en enero 9, 2018

A partir de 1748 el genio de las matemáticas Leonhard Euler inició su estudio de una curiosa curva llamada lemniscata, y a raíz de eso descubrió el siguiente producto, que muestra una notable relación entre dos integrales elípticas:

\displaystyle \int _0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}\int _0^1\frac{t^2dt}{\sqrt{1-t^4}} = \frac{\pi }{4} (1)
Aquí ofrezco, en maravilloso desorden, algunas relaciones semejantes que he encontrado por mi cuenta en mi pequeña investigación sobre el asunto:

\displaystyle \int _0^1\frac{t^3dt}{\sqrt{1-t^3}}\int _0^1\frac{t^4dt}{\sqrt{1-t^6}}=\frac{\pi }{15} (2)
\displaystyle \int _0^1\frac{t^3dt}{\sqrt{1-t^8}}\int _0^1\frac{t^7dt}{\sqrt{1-t^8}}=\frac{\pi }{32} (3)
\displaystyle \int _0^1\frac{tdt}{\sqrt{1-t^6}}\int _0^1\frac{t^4dt}{\sqrt{1-t^6}}=\frac{\pi }{12} (4)
\displaystyle \int _0^1\frac{t^5dt}{\sqrt{1-t^{10}}}\int _0^1\frac{t^{10}dt}{\sqrt{1-t^{10}}}=\frac{\pi }{60} (5)
\displaystyle \int _0^1\frac{t^4dt}{\sqrt{1-t^{10}}}\int _0^1\frac{t^{9}dt}{\sqrt{1-t^{10}}}=\frac{\pi }{50} (6)
\displaystyle \int _0^1\frac{t^2dt}{\sqrt{1-t^{8}}}\int _0^1\frac{t^{6}dt}{\sqrt{1-t^{8}}}=\frac{\pi }{24} (7)
\displaystyle \int _0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^{6}}}\int _0^1\frac{t^{3}dt}{\sqrt{1-t^{6}}}=\frac{\pi }{6} (8)
\displaystyle \int _0^1\frac{t^5dt}{\sqrt{1-t^{12}}}\int _0^1\frac{t^{11}dt}{\sqrt{1-t^{12}}}=\frac{\pi }{72} (9)
\displaystyle \int _0^1\frac{t^3dt}{\sqrt{1-t^{10}}}\int _0^1\frac{t^{8}dt}{\sqrt{1-t^{10}}}=\frac{\pi }{40} (10)
\displaystyle \int _0^1\frac{tdt}{\sqrt{1-t^{8}}}\int _0^1\frac{t^{5}dt}{\sqrt{1-t^{8}}}=\frac{\pi }{16} (11)
\displaystyle \int _0^1\frac{t^8dt}{\sqrt{1-t^{16}}}\int _0^1\frac{t^{16}dt}{\sqrt{1-t^{16}}}=\frac{\pi }{144} (12)
\displaystyle \int _0^1\frac{t^4dt}{\sqrt{1-t^{12}}}\int _0^1\frac{t^{10}dt}{\sqrt{1-t^{12}}}=\frac{\pi }{60} (13)
\displaystyle \int _0^1\frac{t^2dt}{\sqrt{1-t^{10}}}\int _0^1\frac{t^{7}dt}{\sqrt{1-t^{10}}}=\frac{\pi }{30} (14)
\displaystyle \int _0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^{8}}}\int _0^1\frac{t^{4}dt}{\sqrt{1-t^{8}}}=\frac{\pi }{8} (15)
\displaystyle \int _0^1\frac{t^9dt}{\sqrt{1-t^{18}}}\int _0^1\frac{t^{18}dt}{\sqrt{1-t^{18}}}=\frac{\pi }{180} (16)
\displaystyle \int _0^1\frac{t^7dt}{\sqrt{1-t^{16}}}\int _0^1\frac{t^{15}dt}{\sqrt{1-t^{16}}}=\frac{\pi }{128} (17)
\displaystyle \int _0^1\frac{t^3dt}{\sqrt{1-t^{12}}}\int _0^1\frac{t^{9}dt}{\sqrt{1-t^{12}}}=\frac{\pi }{48} (18)
\displaystyle \int _0^1\frac{tdt}{\sqrt{1-t^{10}}}\int _0^1\frac{t^{6}dt}{\sqrt{1-t^{10}}}=\frac{\pi }{20} (19)
\displaystyle \int _0^1\frac{t^2dt}{\sqrt{1-t^{12}}}\int _0^1\frac{t^{8}dt}{\sqrt{1-t^{12}}}=\frac{\pi }{36} (20)
\displaystyle \int _0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^{10}}}\int _0^1\frac{t^{5}dt}{\sqrt{1-t^{10}}}=\frac{\pi }{10} (21)
\displaystyle \int _0^1\frac{t^9dt}{\sqrt{1-t^{20}}}\int _0^1\frac{t^{19}dt}{\sqrt{1-t^{20}}}=\frac{\pi }{200} (22)
\displaystyle \int _0^1\frac{t^7dt}{\sqrt{1-t^{18}}}\int _0^1\frac{t^{16}dt}{\sqrt{1-t^{18}}}=\frac{\pi }{144} (23)
\displaystyle \int _0^1\frac{t^{15}dt}{\sqrt{1-t^{16}}}\int _0^1\frac{t^{13}dt}{\sqrt{1-t^{16}}}=\frac{\pi }{96} (24)
\displaystyle \int _0^1\frac{t^{}dt}{\sqrt{1-t^{12}}}\int _0^1\frac{t^{7}dt}{\sqrt{1-t^{12}}}=\frac{\pi }{24} (25)
\displaystyle \int _0^1\frac{t^{12}dt}{\sqrt{1-t^{24}}}\int _0^1\frac{t^{24}dt}{\sqrt{1-t^{24}}}=\frac{\pi }{312} (26)
\displaystyle \int _0^1\frac{t^{10}dt}{\sqrt{1-t^{22}}}\int _0^1\frac{t^{21}dt}{\sqrt{1-t^{22}}}=\frac{\pi }{242} (27)
\displaystyle \int _0^1\frac{t^{8}dt}{\sqrt{1-t^{20}}}\int _0^1\frac{t^{18}dt}{\sqrt{1-t^{20}}}=\frac{\pi }{180} (28)
\displaystyle \int _0^1\frac{t^{6}dt}{\sqrt{1-t^{18}}}\int _0^1\frac{t^{15}dt}{\sqrt{1-t^{18}}}=\frac{\pi }{126} (29)
\displaystyle \int _0^1\frac{t^{4}dt}{\sqrt{1-t^{16}}}\int _0^1\frac{t^{12}dt}{\sqrt{1-t^{16}}}=\frac{\pi }{80} (30)
\displaystyle \int _0^1\frac{t^{2}dt}{\sqrt{1-t^{14}}}\int _0^1\frac{t^{9}dt}{\sqrt{1-t^{14}}}=\frac{\pi }{42} (31)
\displaystyle \int _0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^{12}}}\int _0^1\frac{t^{6}dt}{\sqrt{1-t^{12}}}=\frac{\pi }{12} (32)
\displaystyle \int _0^1\frac{t^{13}dt}{\sqrt{1-t^{26}}}\int _0^1\frac{t^{26}dt}{\sqrt{1-t^{26}}}=\frac{\pi }{364} (33)
\displaystyle \int _0^1\frac{t^{11}dt}{\sqrt{1-t^{24}}}\int _0^1\frac{t^{23}dt}{\sqrt{1-t^{24}}}=\frac{\pi }{288} (34)
\displaystyle \int _0^1\frac{t^{9}dt}{\sqrt{1-t^{22}}}\int _0^1\frac{t^{21}dt}{\sqrt{1-t^{22}}}=\frac{\pi }{220} (35)
\displaystyle \int _0^1\frac{t^{7}dt}{\sqrt{1-t^{20}}}\int _0^1\frac{t^{19}dt}{\sqrt{1-t^{20}}}=\frac{\pi }{160} (36)
\displaystyle \int _0^1\frac{t^{5}dt}{\sqrt{1-t^{18}}}\int _0^1\frac{t^{17}dt}{\sqrt{1-t^{18}}}=\frac{\pi }{108} (37)

\displaystyle \cdots

Evidentemente, podemos seguir ad infinitum 8, pero es más interesante saber si existe una fórmula genérica para estos pares de integrales que dan fracciones unitarias de p. En principio, parece fácil hallar un término general para esta clase de productos. Supongamos que, para cada par de integrales, las dos raíces cuadradas de los denominadores poseen el mismo exponente en la variable t. En la lista que he presentado, la expresión (2) sería una excepción ya que vemos que los exponentes son distintos, el 3 y el 8. Llamemos a ese exponente, que aparece en la raíz cuadrada, grado. Por ejemplo el producto que halló Euler que he escrito en la identidad (1) sería el primer elemento de una sucesión de grado 4. Esa sucesión sería la siguiente:

\displaystyle \int _0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^{4}}}\int _0^1\frac{t^{2}dt}{\sqrt{1-t^{4}}}=\frac{\pi }{4}\text{,} \\ \\ \int _0^1\frac{t^{}dt}{\sqrt{1-t^{4}}}\int _0^1\frac{t^{3}dt}{\sqrt{1-t^{4}}}=\frac{\pi }{8}\text{,} \\ \\ \int _0^1\frac{t^{2}dt}{\sqrt{1-t^{4}}}\int _0^1\frac{t^{4}dt}{\sqrt{1-t^{4}}}=\frac{\pi }{12}\text{,}

\displaystyle \cdots

\displaystyle \int _0^1\frac{t^{n-1}dt}{\sqrt{1-t^{4}}}\int _0^1\frac{t^{n+1}dt}{\sqrt{1-t^{4}}}=\frac{\pi }{4 n}

donde n es el n-ésimo elemento de ese sucesión. Y en general para cualquier grado k, tendremos:

\displaystyle \int _0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^{k}}}\int _0^1\frac{t^{k/2}dt}{\sqrt{1-t^{k}}}=\frac{\pi }{k}\text{,} \\ \\ \int _0^1\frac{t^{}dt}{\sqrt{1-t^{k}}}\int _0^1\frac{t^{1+k/2}dt}{\sqrt{1-t^{k}}}=\frac{\pi }{2k}\text{,} \\ \\ \int _0^1\frac{t^{2}dt}{\sqrt{1-t^{k}}}\int _0^1\frac{t^{2+k/2}dt}{\sqrt{1-t^{k}}}=\frac{\pi }{3k}\text{,}

\displaystyle \cdots

\displaystyle \int _0^1\frac{t^{n-1}dt}{\sqrt{1-t^{k}}}\int _0^1\frac{t^{n-1 +k/2}dt}{\sqrt{1-t^{k}}}=\frac{\pi }{nk} (38)
Elijamos, por ejemplo, la identidad (33) en la lista de arriba, la cual es:

\displaystyle \int _0^1\frac{t^{13}dt}{\sqrt{1-t^{26}}}\int _0^1\frac{t^{26}dt}{\sqrt{1-t^{26}}}=\frac{\pi }{364}
Esto quiere decir que ese elemento pertenece a la sucesión de grado k = 26, y es el elemento n = 14 de la misma.

Saludos lemniscáticos a todos 😛

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