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Ciencia en español -ʟᴀ ʀᴀᴢóɴ ᴇsᴛá ᴀʜí ғᴜᴇʀᴀ-

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Gravitación universal: Resolución de la paradoja de la región lenticular

Posted by Albert Zotkin en febrero 14, 2015

En mi último post (Gravitación universal: Viaje insólito al centro de la Tierra) llegué a afirmar que una masa de pruebas en el interior de una esfera sólida de densidad uniforme sí podría sentir el campo gravitatorio creado por la masa de dicha esfera, contradiciendo así Newtom con su famoso teorema de la cáscara esférica (teorema del shell). Sin embargo, un análisis mas minucioso de dicho teorema nos lleva a concluir que Newton estaba en lo cierto. Veamos cómo Sir Isaac Newton demostró el teorema del shell:

Una de las razones por las que Newton inventó el cálculo infinitesimal fue para poder demostrar que la ley de la gravedad que él descubrió ofrece una aceleración gravitatoria nula dentro de una cáscara esférica para cualquier masa de pruebas, y también demostrar que si la masa de pruebas está fuera de esa cáscara esférica, la aceleración gravitatoria sería la misma que la que ofrecería si toda la masa de la cáscara estuviera situada en su centro.

Decir también que este teorema puede ser derivado desde la ley de Gauss para la gravedad. Empecemos:

TEOREMA DE LA CÁSCARA ESFÉRICA:
La Ley de la Gravitación Universal de Newton que para dos masas puntuales m y M separadas una distancia r la fuerza mutua ejercida sobre cada una de ella será:

\displaystyle F = \frac{G m M}{r^2}  (1)
donde la constante universal G posee el valor aproximado de

\displaystyle G \approx 6.67 \times 10^{-11} \mathrm{\ N.m^2/Kg^2}  (2)
A menudo es más útil usar el campo gravitario que genera la masa M,en lugar de la fuerza, así:

\displaystyle E = \frac{G M}{r^2}  (3)
Si en lugar de una masa puntual tenemos toda esa masa repartida homogéneamente sobre una cáscara esférica, el problema será saber que campo gravitatorio existe en un punto cualquiera dentro y fuera de esa la cáscara. Consideremos que el radio de dicha esfera es R, y situemos una masa de pruebas a la distancia r al centro de dicha esfera.

La densidad de esa cáscara esferica de masa M será:

\displaystyle \sigma =\frac{M}{4\pi R^2}  (4)
Si ahora descomponemos la cáscara esférica en pequeños anillos, y decimos que la distancia de uno cualquiera de dichos anillos al punto p donde está nuestra masa de pruebas es s, tendremos la siguiente configuración:

fig-1

La masa total del anillo seria entonces

\displaystyle \begin{aligned} M_a &=\sigma 2\pi R (\sin\phi) R d\phi \\  &=\frac{1}{2}M (\sin\phi)  d\phi   \end{aligned}  (5)
Seguidamente, nos damos cuenta que toda la masa está a la misma distancia s del punto p. Sin embargo, ya que (por simetría) la dirección del campo es hacia el centro de la esfera, la contribución de este pequeño anillo, tenemos que:

\displaystyle dE =\frac{G M \cos\theta \sin \phi d\phi}{2s^2} =-\frac{G M \cos\theta d(\cos \phi)}{2s^2}   (6)
Y usando la ley de los cosenos tenemos

\displaystyle R^2 = s^2+r^2-2rs\cos\theta, \\ s^2= R^2+r^2-2Rr\cos\phi  (7)
por lo que:

\displaystyle \cos\theta = \frac{s^2+r^2-R^2}{2rs} \\ \\ \cos\phi = \frac{R`2+r^2-s^2}{2Rr} \\ \\ s^2= R^2+r^2-2Rr\cos\phi  (8)
con lo cual:

\displaystyle -d(\cos\phi)=\frac{s}{Rr}ds.  (9)
y sustituyendo en (6) se obtiene la contribución del pequeño anillo:

\displaystyle dE =\frac{GM(s^2+r^2-R^2)ds}{4Rr^2s^2}  (10)
Desde esta última ecuación se concluye que el campo gravitacional total inducido por la cáscara esférica sobre la masa de pruebas situada en el punto p es la integral de las contribuciones de todos los anillos:

\displaystyle \begin{aligned} E &= \int_{s=r-R}^{s=r+R}dE = \frac{GM}{4Rr^2} \int_{s=r-R}^{s=r+R}\frac{s^2+r^2-R^2}{s^2}ds =\\ \\  &= \frac{GM}{4Rr^2}\left(s+ \frac{R^2-r^2}{s}\right)\biggr\rvert_{r-R}^{r+R}= \frac{GM}{4Rr^2}\; 4R = \frac{GM}{r^2} \end{aligned}  (11)
y eso probaría la primer aparta del teorema gravitacional de la cáscara esférica de newton. Para probar la segunda parte, es decir que el campo gravitacional dentro de la cáscara esférica es cero, hay que darse cuenta de que la contribución de cada uno de esos anillos es la misma de antes,

fig-2

y lo único que cambia son los límites de integración para s, que ahora son s = Rr y s = R + r. Por lo tanto:

\displaystyle \begin{aligned} E &= \int_{s=R-r}^{s=R+r}dE = \frac{GM}{4Rr^2} \int_{s=R-r}^{s=R+r}\frac{s^2+r^2-R^2}{s^2}ds =\\ \\  &= \frac{GM}{4Rr^2}\left(s+ \frac{R^2-r^2}{s}\right)\biggr\rvert_{R-r}^{R+r}= 0 \end{aligned}  (12)
Finalmente, calculamos el campos gravitacional inducido por una esfera sólida y homogénea de masa total M, en un punto cualquiera externo y después para un punto cualquiera del interior. La densidad de dicha esfera sólida sería:

\displaystyle \mu= \frac{3M}{4\pi R^3}  (13)
Y como antes, sea r la distancia de la masa de pruebas en el punto p al centro de la esfera. Ahora dividamos la esfera en sucesivas cáscaras esféricas concéntricas, cada una con un grosor de dρ y radio ρ, con lo cual la masa de cada una de esas cáscaras sería:

\displaystyle dM = 4\pi \rho^2 \mu d\rho = \frac{3M \rho^2}{R^3}d\rho.  (14)
Desde la primera parte del teorema de la cáscara de Newton, tenemos que la contribución al campo gravitacional de esa cáscara es:

\displaystyle dE = \frac{3GM \rho^2}{r^2R^3}d\rho;  (15)
y el campo total lo obtenemos integran todas las cáscaras concéntricas desde 0 hasta R:

\displaystyle E = \int_0^R dE=\int_0^R\frac{3GM \rho^2}{r^2R^3}d\rho=\frac{GM\rho^3}{r^2R^3}\biggr\rvert_0^R =\frac{GM}{r^2}  (16)
Y para finalizar estas demostraciones de teoremas, si el punto p de nuestra masa de pruebas está en el interior de la esfera homogénea (r < R), entonces según la segunda parte del teorema de newton arriba demostrado, vemos que la contribución al campo gravitacional por las cáscaras concéntricas de radio ρ está definida por

\displaystyle dE = \begin{cases} \frac{3GM \rho^2}{r^2R^3}d\rho & \quad \text{if } 0\leq\rho\leq r, \\ 0  & \quad \text{if } r\leq\rho\leq R.\\ \end{cases}  \\ \\ \\   (17)
Por lo tanto, la contribución total al campo es la integral:

\displaystyle E = \int_0^r dE=\int_0^r\frac{3GM \rho^2}{r^2R^3}d\rho=\frac{GM r^3}{r^2 R^3}  (18)
con lo que vemos que

\displaystyle M_r = \frac{M r^3}{R^3}
es la masa contenida en el volumen de la esfera de radio r.

Y hasta aquí la demostración del teorema de la cáscara de Newton. He destacado toda la demostración con fondo amarillo, y un párrafo (el que incluye la ecuación #6) lo he destacado especialmente sobre fondo amarillo más intenso para señalar que quizás alguien podría tener dudas de que esa deducción sea correcta. De hecho, si Ma es la masa de uno de eso pequeños anillos, tal y como se expresa en la ecuación (5). Podemos calcular fácilmente que la aceleración de la gravedad, para una masa de pruebas situada sobre el eje central a cierta distancia z del centro del anillo, será:

\displaystyle E_a = = \frac{G M_a z}{\sqrt{(R^2 + z^2)^3}} (19)
pero z = s cos φ, y R2 + z2 = s2, por lo que

\displaystyle E_a =  \frac{G M_a s \cos\phi}{s^3}=  \frac{G M_a \cos\phi}{s^2} \\ \\ \frac{1}{2} \frac{G M (\sin\phi)\cos\theta}{s^2} d\phi=-\frac{G M \cos\theta d(\cos \phi)}{2s^2}  (20)
es la misma ecuación (6).

Para resolver la paradoja de la región lenticular hemos de ver que si esa región es la correspondiente de substraer las masas elementales cuyas fuerzas opuestas en la masa de pruebas se cancelaban totalmente, entonces la masa de la esfera horadada restante, que sigue influyendo gravitacionalmente (sus fuerzas dos a dos no se anulan totalmente), es mayor que la que predice el teorema de la cáscara de newton. La solución a esta aparente anomalía está en ver que la masa de la región lenticular sustraída no es exhaustiva, es decir, es necesaria pero no es suficiente.
Esa región lenticular es sólo la correspondiente a fuerzas que se cancelan totalmente. Pero, aún permanecen en la esfera horadada restante pares de fuerzas que se cancelan sólo parcialmente, y eso implica que las masas elementales respectivas del par no se substraen del volumen totalmente pero deben substraerse parcialmente. Cuando completamos todas esas sustracciones parciales de masa veremos que la masa que permanece corresponde exactamente a la predicha en el teorema de la cáscara de Newton.

Saludos

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Gravitación universal: Viaje insólito al centro de la Tierra

Posted by Albert Zotkin en febrero 6, 2015

En este pequeño artículo voy a calcular cuánto vale la gravedad en un punto cualquiera del interior de un cuerpo esférico y de densidad constante.

Empecemos. Si el radio de dicho cuerpo esférico es R, y un punto p cualquiera de su interior está a la distancia r de su centro, tendremos que si trazamos segmentos de rectas centrados en dicho punto p, hacia todas las direcciones, podremos ir viendo cómo se van anulando pares de fuerzas. Cuando se anula un par de fuerzas, su influencia sobre una partícula de prueba situada en p es nula, y por lo tanto es como si las masas elementales que generan esas dos fueras opuestas no existieran. Estas anulaciones efectivas, dos a dos, produce una especie de oquedad, a modo de un cráter.

Ese hueco gravitacional en la esfera es en realidad el producto de la intersección de otra esfera de igual radio

Esa intersección es un volumen que tiene forma de lenteja. Si desprendemos ese volumen de masa, que no influye gravitacionalmente sobre nuestra masa de pruebas, tendremos una esfera horadada, que se ve claramente en las siguientes ilustraciones que he dibujado. La lenteja intersección, que he pintado de amarillo, cuyo centro es el punto p donde esta nuestra masa de pruebas, la voy a desprender de la esfera azul que representa nuestro planeta Tierra, quedando pues el hueco de no-gravedad,

Ahora nuestro problema matemático se reduce a calcular el volumen de esa lenteja que hemos desprendido de la esfera principal. Una vez que sabemos el valor de ese volumen lo restaremos del volumen de la esfera, con lo cual sabremos cual es el volumen de la esfera azul horadada, que es la que en definitiva influye gravitacionalmente sobre nuestra masa de pruebas.

Para calcular el volumen de esa lenteja (volumen intersección de dos esferas iguales), bastará calcular la mitad. Esa mitad es lo que se llama casquete esférico

\displaystyle v = \frac {\pi h}{6} (3a^2 + h^2) (1)
O también: \displaystyle v = \frac {\pi h^2}{3} (3R - h) (2)
O en función de R y r: \displaystyle v =\frac{1}{3} \pi  (r-R)^2 (r+2 R) (3)
Con lo cual el volumen total de esa lenteja será:

\displaystyle V = 2v = \frac{2}{3} \pi  (r-R)^2 (r+2 R) (4)

Esto significa que el volumen que permanece en la esfera principal horadada (esfera azul) será pues:

\displaystyle V_E =\frac{4}{3} \pi  R^3 - \frac{2}{3} \pi  (r-R)^2 (r+2 R) \\ \\ \\ \\ V_E = \frac{2}{3} \pi  r \left(3 R^2 - r^2\right) (5)
Pero según la Ley de Gauss para la Gravedad, y según el teorema del Shell, ese volumen VE, debería corresponder al volumen de una esfera de radio r. Es decir,

\displaystyle V_E =\frac{4}{3} \pi  r^3 (6)
¿Dónde está pues el error?.

Obviamente, si nuestra masa de pruebas está localizada en el centro de la Tierra, la lenteja que extraemos (intersección de las dos esferas) tendria un volumen igual al volumen total de la esfera, lo cual implicaría que la gravedad en el centro de la Tierra es nula. Pero, la pregunta está hecha ya. ¿Dónde está pues el error en mis cálculos?. Está claro, que algo debe estar equivocado en mis cálculos y/o consideraciones ya que la probabilidad de que yo no esté equivocado y sí lo esté Gauss al respecto es casi nula, por no decir absolutamente nula.

Actualización (2/8/2015): La ecuación (5) del volumen de masa efectiva (masa que influye efectivamente sobre nuestra masa de pruebas) nos sirve para hallar la masa efectiva. Ya que sabemos que la esfera inicial de radio R y masa total M es homogénea , la densidad constante de dicha esfera inicial es:

\displaystyle \mu =\frac{3M}{4\pi R^3}  (7)
Por lo tanto, si dividimos la masa efectiva ME por el volumen efectivo VE obtendremos esa densidad constante μ:

\displaystyle \frac{M_E}{V_E}=\mu =\frac{3M}{4\pi R^3}  (8)
y por lo tanto la masa efectiva será:

\displaystyle M_E=\frac{2}{3} \pi  r \left(3 R^2 - r^2\right)\frac{3M}{4\pi R^3} \\ \\ \\ \\  M_E=\tfrac{1}{2}M\left(\frac{3 r}{R}\text{  }- \frac{r^3}{R^3}\right) (9)
Pero, según el teorema de la cáscara esférica de Newton (el teorema del Shell), el volumen efectivo sería el de la ecuación (6), es decir, toda la masa efectiva estaria dentro de una esfera de radio r, y por lo tanto, la masa efectiva ME (según predice la gravitación universal de Newton, que es la conocida ley del inverso del cuadrado de la distancia) sería:

\displaystyle M_E=\frac{4}{3} \pi  r^3 \frac{3M}{4\pi R^3} \\ \\ \\ \\  M_E=M\frac{r^3}{R^3} (10)
Y según la gravitación universal de Newton, la fuerza efectiva sobre nuestra masa de pruebas sería:

\displaystyle F_E= G M\frac{r^3}{r^2 R^3} \\ \\ \\ \\  F_E= G M\frac{r}{R^3} (11)
O sea, la ley de gravitación universal de newton dice que considerando el radio R y la masa M constantes, la fuerza efectiva de la gravedad en el interior de esa esfera homogénea es directamente proporcional a r (distancia al centro de la esfera).

En conclusión: Según los cálculos que he realizado, el volumen efectivo hallado es independiente de la teoría de gravitación que consideremos ( no empleo la asunción de que la fuerza de la gravedad sea la ley del inverso del cuadrado de la distancia), sino que sólo asumo que a distancias iguales le corresponderán fuerzas iguales. Ahí radica la discrepancia entre el resultado que yo he hallado y el resultado oficial (el de la Ley de gravitación de Newton). Si los cálculos que he realizados son correctos, esto implicaría que la masa efectiva sería siempre mayor o igual que la masa efectiva oficial. Y esto tiene una implicación muy importante en gravitación, ya que explicaría nada más y nada menos que la anomalía que llamamos materia oscura. En la siguiente representación gráfica, para M = 1 y R = 1, comparo ambas predicciones de masa efectiva (la gráfica en azul es la que yo he calculado y la roja es la predicción clásica Newtoniana).

lines1

La región en gris definida entre ambas gráfica en el intervalo [0, R] es, según mis presagios, lo que se viene llamando erróneamente materia oscura. Es decir, la materia oscura sería simple y llanamente una anomalía ficticia producto de un mal entendimiento de la gravedad a lo largo de los siglos.

Saludos

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Gravedad cuántica: ¿existe una velocidad mínima no nula para el movimiento de los cuerpos con masa?

Posted by Albert Zotkin en diciembre 22, 2014

Si nos creemos el hecho de que existe una velocidad máxima (insuperable) en nuestro universo, la cual identificamos como la velocidad de la luz en el vacío, c, entonces tambien debe ser razonable pensar que debe existir una velocidad mínima no nula, no sólo para los cuerpos con masa, sino para la misma luz. Este hecho de una cota minima nos lleva a fenómenos como el de la refracción de la luz en medios extremos. Decimos que un medio posee un indice de refraccíon n mayor que la unidad cuando la velocidad de la luz cn en dicho medio es inferior a la que posee en el vacio:

\displaystyle n = \frac{c}{c_n} (1)
Si afirmamos que ha de existir una velocidad mínima no nula para la luz en algún medio (por ahora desconocido), entonces dicho medio poseerá un índice de refracción muy alto, pero no infinito, porque si fuera infinito la velocidad de la luz en dicho medio sería nula. Por otro, lado sabemos que la longitud de Planck lP está definida de esta forma:

\displaystyle \ell_\text{P} =\sqrt\frac{\hbar G}{c^3} \approx 1.616\;199 (97) \times 10^{-35} \mbox{ m} (2)
Esto significa que es posible expresar la velocidad de la luz en función de la Longitud de Planck:

\displaystyle c =\sqrt[3]{\frac{\hbar G}{\ell_\text{P}^2}}  (3)
Y esto quiere decir que para una posible velocidad mínima no nula, c0, de la luz en un medio extremo (aún desconocido) debemos encontrar una longitud “extrema” muy grande, que llamaremos RH, tal que:

\displaystyle c_0 =\sqrt[3]{\frac{\hbar G}{R_\text{H}^2}}  (4)
por lo que el índice de refracción para ese medio en el cual la luz se ralentiza hasta llegar a propagarse a la mínima velocidad no nula posible, será:

\displaystyle n_0 =\cfrac{\sqrt[3]{\frac{\hbar G}{\ell_\text{P}^2}} }{\sqrt[3]{\frac{\hbar G}{R_\text{H}^2}} } =\sqrt[3]{\frac{R_\text{H}^2}{\ell_\text{P}^2}} (5)

Es pues posible hipotetizar que esa longitud RH no puede ser otra que un Radio de Hubble:

\displaystyle R_\text{H} =\cfrac{c}{H_0} (6)

donde H0 es la constante de Hubble, y su valor aproximado es de

\displaystyle R_\text{H} \approx  13.000 \ \text{millones de a\~nos luz} (7)
Luego la velocidad mínima que buscamos será:

\displaystyle c_0 =\sqrt[3]{\frac{\hbar G H_0^2}{c^2}}  (8)
Saludos

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La curvatura del espacio-tiempo contradice el Principio de Fermat

Posted by Albert Zotkin en julio 24, 2014

El Principio de Fermat establece que la luz sigue la trayectoria de tiempo mínimo entre la fuente emisora y el observador. La Teoría General de la Relatividad de Einstein predice la existencia del efecto de lente gravitacional, afirmando que ese efecto es causado por la curvatura del espacio-tiempo ante la presencia de materia y/o energía en las inmediaciones. Realmente, esos dos efectos son el mismo. Lo único que tenemos que hacer es repensar lo que entendemos por vacio y cómo es posible que un fotón pueda viajar en el vacio. refraccion
Si la velocidad de la luz es diferente en diferentes medios, ¿significa eso que hay un cuerpo masivo en la zona limítrofe de ambos medios que hace que el espacio-tiempo se curve ahí? La respuesta debe ser obviamente no. La respuesta correcta es que los átomos y moléculas en un medio deben de retransmitir la señal: si un medio es ópticamente más denso, la velocidad de la luz sería más pequeña. Por lo tanto, el concepto de curvatura del espacio-tiempo es sólo un pseudo-concepto que se refiere implícitamente a la variación de la velocidad de la luz. No se puede afirmar por un lado que el espacio-tiempo se curva y por otro lado que existe una velocidad de la luz localmente variable. Se debe elegir entre una afirmación o la otra, pero no ambas. El problema que nos produce la Relatividad General es que en ella coexisten ambas afirmaciones sin contradicción alguna. y eso es un absurdo.

lente

Está claro que si existe un cuerpo masivo intermedio entre la fuente de luz y el observador, el vacio (medio) se hace gradualmente denso e inhomogéneo, ofreciendo diferentes índices de refracción, no sólo en el sitio de la fuente y en el del observador, sino por todo el espacio. Por lo tanto, surge otra pregunta. ¿Cómo curvaría la antimateria la trayectoria de la luz?. Si la materia ordinaria curva dicha trayectoria hacia el centro del cuerpo masivo intermedio, la antimateria debería curvar la trayectoria de la luz en la dirección opuesta. La antimateria es por lo tanto un alias para referirnos a un medio que posee indices inversos de refracción graduada. Es decir, si un cuerpo masivo de materia ordinaria produce un indice de refracción graduada con la distancia r, n = N(r), entonces un cuerpo masivo de antimateria de la misma clase produciría , n’ = N’(r), de tal forma que el producto escalar de ambos debe dar la unidad, n n’ = 1. Si la función N(r) para el primero es

\displaystyle                N(r) = \exp \left ( -\frac{2V_r}{c^2} \right ), (1)

donde Vr es el potencial gravitatorio a la distancia r.

Entonces la función N’(r) para el segundo medio (antimateria) sería

\displaystyle       N'(r) = \exp \left ( \frac{2V_r}{c^2} \right ), (2)

y vemos que efectivamente N(r) N'(r) = 1

Ahora surge otra interesante pregunta. Si un medio homogeneo, donde la velocidad local de la luz que se mide como c, se está haciendo más denso hacia el centro de masas, ¿significa eso que se está creando un vacío rarificado en la zona de su límite exterior, que se comporta como materia oscura?. La respuesta a esa pregunta debe ser SÍ. Ese fenómeno se puede observar en la formación de galaxias. La región exterior de cualquier galaxia está llena de “materia oscura “. Las regiones exteriores de cúmulos de galaxias están también llenas de “materia oscura“. Incluso nuestro Sistema Solar tiene también una pequeña cantidad de “materia oscura” en sus regiones exteriores. Materia oscura es por lo tanto un alias para una región donde la velocidad local de la luz es más grande que la estandar c.

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El proceso de emergencia de materia oscura en la formación de una galaxia es muy parecido a cómo construimos un castillo de arena en una playa totalmente lisa en principio. Elegimos el punto donde construir nuestro castillo de arena, mediante una pala escabamos en la arena húmeda y la amontonamos. El resultado de amontonar la arena produce un foso alrededor del montón. Es decir, el foso es un valle que está por debajo del nivel medio de la superficie llana de la playa. La superficie llana de la playa es considerada como el vacío, y el montón central es considerado como materia ordinaria. Por lo tanto el foso alrededor del montón es considerado como materia oscura. Las ondas electromagnéticas que atraviesan ese foso de materia oscura, en las zonas exteriores de las galaxias, se propagan a una velocidad mayor que la estándar c.

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