TARDÍGRADOS

Ciencia en español -ʟᴀ ʀᴀᴢóɴ ᴇsᴛá ᴀʜí ғᴜᴇʀᴀ-

Posts Tagged ‘ecuación diferencial’

Supercomputación tetrádica: primera aproximación hacia una Teoría de la Super-Relativididad

Posted by Albert Zotkin en abril 22, 2018

En este pequeño artículo voy a definir una nueva clase de derivada de una función, y como corolario veremos cómo surge también una nueva variedad de superintegral indefinida.

La forma estándar de definir la derivada de una función f, para un valor x, es la siguiente

\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}} (1)
De esta forma, la derivada es una especie de medida de la rapidez con la que cambia esa función f. Lo que hemos hecho es incrementar la variable independiente x con un número infinitesimal h. Incrementar aquí es sumar. Pero también podríamos haber incrementado la x con otras operaciones, no sólo con una suma. Por ejemplo, podemos incrementarla mediante la multiplicación por un número muy próximo a la unidad. Definamos la superderivada de la función f de x de la siguiente forma:

\displaystyle \text{SD}(f(x))=\lim _{h\to 0} { \sqrt[h]{ \frac{ f(x(1+h)) }{f(x)} }} (2)
Esta superderivada, al definirla de esta forma, también es una especie de medida de la rapidez con la que cambia esa función f. Se puede demostrar fácilmente que esta superderivada está relacionada con la derivada estándar de esta forma:

\displaystyle \text{SD}(f(x))= \exp\left({ x \frac{f'(x)}{f(x)}}\right) (3)

Por lo tanto es posible hallar la superintegral indefinida de una función f(x), si podemos resolver para y la ecuación diferencial siguiente:

\displaystyle x y' = y \log f(x) (4)
Es decir, tenemos la exponencial siguiente y resolvemos para y:
\displaystyle f(x) = \exp\left(\frac{x y'}{y} \right) (5)
Pongamos un pequeño y simple ejemplo: Sea la función:

\displaystyle f(x) = x^2
Hallemos su superderivada primera:
\displaystyle \text{SD}(f(x))= \exp\left(\frac{x y'}{y} \right) = \\ \\   =\exp\left(\frac{2x^2}{x^2} \right) =  e^2   (6)
y vemos que es la constante e elevada al cuadrado. Hallemos ahora la superintegral indefinida de esa constante e2 (se trata de hallar la función y desde la ecuación diferencial:
\displaystyle  e^2  = \exp\left(\frac{x y'}{y} \right)  \\ \\  y = x^2 \\ \\  y =\text{SI}(e^2)=x^2 (7)
Igualmente, la superintegral indefinida de x2 es:
\displaystyle \text{SI}(x^2)=e^{\frac{1}{4} \log \left(x^2\right)^2} (8)

Las representaciones gráficas de estas tres funciones son así:

Alguien siempre puede decir,”muy bien, todo eso es muy bonito, pero ¿qué aplicaciones nos propones para esa supuesta teoría de la super-relatividad de la que hablas?“.

La primera, y más intuitiva, de las aplicaciones de la supercomputacion, en el terreno del modelado de fenómenos físicos, es el cálculo del efecto Doppler, de la luz que observamos, emitida por un objeto que se mueve respecto a nosotros con una velocidad constante, v, y en un entorno inercial. Acostumbramos a pensar que esa velocidad v es simplemente la primera derivada del espacio respecto al tiempo, y para calcular cómo varía la frecuencia de la luz observada, que fue emitida por ese objeto, debemos aplicar una teoría. pero, ninguna teoría nos estaba diciendo hasta ahora que la frecuencia Doppler observada es simplemente directamente proporcional a la primera superderivada del espacio respecto al tiempo. Es decir:

\displaystyle f= f_0 \;SD(r(x))= f_0 \; e^{\frac{x r'(x)}{r(x)}}
donde f0 es la frecuencia de la luz en el marco de referencia de la fuente y r(x) es la función desplazamiento, es decir, un vector que nos indica la posición de la fuente en nuestro marco de referencia. Veamos más específicamente cómo es este cálculo en un entorno inercial. En tal entorno inercial, la función desplazamiento r(x) es simplemente la función identidad. Es decir, r(x) = x. Por lo tanto la frecuencia Doppler, f, observada es directamente proporcional a la superderivada:

\displaystyle f=  f_0 \; e^{r'(x)} \\ \\  \text{\small donde obviamente } \\ \\  r'(x)= \frac{v}{c}=\beta, \; \text{\small es la beta de la velocidad inercial del objeto}
y c es la velocidad de la luz en el vacío. Más exactamente, se puede afirmar que, en un entorno inercial, se cumple la identidad diferencial:

\displaystyle \frac{x r'(x)}{r(x)} = \frac{v}{c} (9)
Es evidente, que todo esto tiene que ver con las hiperoperaciones y la función de Ackermann. Pero, sigamos con nuestras aplicaciones en el modelado de los fenómenos físicos. ¿Cuál sería nuestra ecuación diferencial equivalente a la (9) de movimiento en un entorno no-inercial?. Un entorno no-inercial, quiere decir, una región espacio-temporal donde la influencia de la gravedad es significativa respecto al movimiento de los objetos. Por ejemplo, en un entorno donde existe un campo gravitatorio significativamente grande, entre objeto que emite la luz y el observador pueden existir una diferencia significativa de potencial gravitatorio. En tal caso la ecuación diferencial de nuestra superderivada se hace “cuadrática”, es decir:

\displaystyle \frac{x r'(x)}{r(x)} = \frac{v^2}{c^2}= \frac{\phi}{c^2} (10)
donde es más que obvio que v2 se identifica con la diferencia de potencial gravitatorio, f, entre objeto y observador.

Posted in Gravedad Cuántica, Matemáticas, Mecánica Cuántica | Etiquetado: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , | 4 Comments »

Breve indagación epistemológica de por qué la teoría de Relavidad Especial de Einstein es una falacia

Posted by Albert Zotkin en octubre 17, 2012

Las teorías de la relatividad que nos propuso Einstein hace ya más de un siglo son casi pseudo-ciencia, y digo casi por ser algo generoso. Veamos a vuela pluma un sencillo ejemplo dentro del contexto de la relatividad especial.

La fórmula del efecto Doppler de las ondas electromagnéticas se escribe clásicamente como una aproximación de primer orden en la beta \beta = v/c  , así:

\displaystyle    f = f_0 \left (1 + \cfrac{v}{c} \right)

Sabemos que esa ecuación sólo nos ofrece una aproximación válida para |v|\ll c  . Sin embargo, la corrección relativista usa esa fórmula imperfecta para obtener una supuesta fórmula perfecta, multiplicándola por el factor de Lorentz,

\displaystyle   f' = f_0 \left (1 + \cfrac{v}{c} \right) \gamma = f_0 \sqrt{\cfrac{1+v/c}{1-v/c} }

Euclides nos enseñó que la perfección se puede obtener de la imperfección sólo mediante un proceso infinito de integración desde lo infinitamente pequeño e imperfecto hacia la belleza de lo perfecto y finito. Es decir, solo desde una ecuación diferencial es posible integrar hacia el Doppler completo. Pero, si multiplicas la fórmula imperfecta del Doppler por el factor γ, o por cualquier otro, lo único que obtienes es más imperfección.

La Relatividad Especial de Einstein usa las transformaciones de Galileo y les aplica el factor de Lorentz. Así la mayoría de las fórmulas de la Relatividad Especial son fórmulas clásicas de la Relatividad Galileana corregidas mediante ese factor de Lorentz. Pero, cuando se le dota a la Relatividad Galileana de todos los órdenes de aproximación, haciéndola completa, se convierte en una teoría de la relatividad muy poderosa, desde la cuál se podría obtener, si se deseara, la Relatividad Especial si se hacen algunas reducciones desde lo perfecto y completo hacia lo imperfecto e incompleto.

Es muy fácil ver que el factor Doppler clásico,

\displaystyle   \mathrm{D}(v) = 1+ \frac{v}{c}   ,

modela incompletamente el efecto Doppler porque

\displaystyle   \mathrm{D}(v)\mathrm{D}(-v)\ne 1

Efectivamente, vemos que

\mathrm{D}(v)\mathrm{D}(-v) = \left(1+ \cfrac{v}{c}\right)\left(1- \cfrac{v}{c}\right)=1- \cfrac{v^2}{c^2} ,

que sólo se aproxima a 1 cuando

v → 0. Toda teoría de la relatividad que posea un factor Doppler con la propiedad

\mathrm{D}(v)\mathrm{D}(-v)= 1  ,

para cualquier rango de v, posee también una relación momento-energía como la siguiente,

E^2 -p^2c^2 =m^2 c^4   .

Resulta por lo tanto sorprendente cómo, en la Teoría de la relatividad Especial, al multiplicar el factor Doppler clásico, que es incompleto, por otro factor (el factor de Lorentz), el resultado sea un factor Doppler completo. En la Relatividad Galileana Completa el factor Doppler Completo sólo se obtiene después de un proceso de integración del Doppler incompleto de primer orden, nunca mediante la multiplicación con ningún factor que sea función de v.

Posted in Relatividad | Etiquetado: , , , , , , , , | Leave a Comment »

 
A %d blogueros les gusta esto: