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Números casi enteros

Posted by Albert Zotkin en febrero 13, 2018

Hola amigo. Ayer se me ocurrió jugar un poco con los llamados números casi-enteros. Como su propio nombre indica, son números reales que son casi enteros, es decir, que a su parte decimal le sobra o le falta muy poco para ser cero. Por ejemplo el número de Ramanujan:

\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262\,537\,412\,640\,768\,743.999\,999\,999\,999\,25\ldots (1)
Es un casi-entero porque le falta muy poquito para ser 262537412640768744. El problema con esta clase de números reside en su definición, la cual no parece muy matemática. Decir que algo es casi blanco o casi negro, es decir poco, cuando la definición la basamos en el adverbio “casi”. ¿Hasta qué punto un número es casi-entero?. Si el corte lo pusiéramos en que la parte decimal debe empezar por más de veinte 9’s seguidos o por más de veinte 0’s, entonces el número de Ramanujan no sería un casi-entero. Por eso, para resolver ese problema, se me ocurre la siguiente definición: Definamos la sucesión de números casi-enteros Qk, de orden k, de la función F(n) de dominio natural, así:

\displaystyle Q_k(F(n))=\{ q_n \}_{n\text{,}\,k\in N} (2)
sería una sucesión de números reales, para los que su parte decimal tendría una precisión de k 9’s seguidos, ó de k 0’s seguidos, si expresamos la sucesión en notación de base decimal. Por ejemplo, el número de Ramanujan no estaría en ninguna sucesión de casi-enteros de orden k = 13, ó superior, ya que posee sólo doce 9’s seguidos en sus primeras posiciones decimales. En cambio, sí estaría en una sucesión de orden k = 10, o de grados inferiores. Pongamos un ejemplo: Sea la función de dominio natural siguiente:

\displaystyle F(n)= e^{\pi {\sqrt {n}}} (3)

y calculemos su sucesión de casi-enteros de grado k = 10:

\displaystyle Q_{10}( e^{\pi {\sqrt {n}}})= \{q_{58},\,q_{163},\,q_{1467},\,\ldots\} (4)
No sé si esa sucesión es finita o infinita, pero lo que si es fácil de comprobar es que 1467 = 9 × 163, y que esos tres primeros números casi-enteros son exactamente estos:

\displaystyle q_{58}=e^{\pi \sqrt{58} }= 24591257751.99999982221324\ldots\\ \\ q_{163}=e^{\pi \sqrt{163} }= 262537412640768743.9999999999992500725\dots\\ \\ q_{1467}=e^{\pi \sqrt{1467} }=18095625621654510801615355531263454706630064771074975.9999999901236\ldots
Propongo que el número casi-entero q1467 = 18095625621654510801615355531263454706630064771074975.9999999901…, sea llamado número de Alberti, porque 1467 fue el año en que el criptógrafo León Battista Alberti escribió el tratado De Componendis Cifris, donde describe un disco para encriptar alfabeto, que ahora llamamos disco de Alberti.

Si el grado k de la sucesión Q de casi-enteros lo hubieramos rebajado a k = 6, esa sucesión sería esta:

\displaystyle Q_{6}( e^{\pi {\sqrt {n}}})= q_{37},q_{58},\, q_{67},q_{163},\, q_{232},\, q_{719},\, q_{1467},\, q_{4075},\ldots (5)
Todo esto nos debe hacer reflexionar sobre el hecho de que, antes de ponerse a divagar sobre un asunto, es muy importante acotar con una buena definición de qué estamos hablando, y eso es especialmente importante en matemáticas.

Y para terminar de jugar con el tema de los números casi-enteros, definiré ahora otra clase de números, que llamaré casi-enteros Cunningham. Los números casi-enteros Cunningham de base b van a ser números de la forma:

\displaystyle \frac{\log(b^{n}\pm 1)}{\log(b)}= \log_b(b^{n}\pm 1) (6)
Donde, obviamente b^{n}\pm 1 es un número de Cunningham. Por ejemplo, la sucesión de casi-enteros Mersenne, son números casi-enteros Cunningham de base 2 de la forma:

\displaystyle \frac{\log(2^{n} - 1)}{\log(2)} = \log_2(2^{n} - 1) (7)
Que es una forma de mapear los exponentes de esos números Mersenne. Por ejemplo, el número primo Mersenne M31 = 2305843009213693951, que fue descubierto por Euler en 1772, genera el casi-entero:

\displaystyle Q_{31}=\log_2(2^{31} - 1) =30.99999999932819276991073646469478216 \ldots (8)
que, como vemos, se aproxima mucho al exponente 31. Y alguien se preguntará “ok, muy bien, y ¿qué utilidad tiene todo esto?“. La respuesta es fácil, “ninguna, en principio” 🙂 . Pero, si de lo que se trata es de hallar número primos Mersenne, los casi-enteros Cunningham, que he definido arriba, pueden tener mucho que decir, sobre todo si analizamos su partes fraccionales.

Podemos expresar elegantemente la parte fraccional, {Qp}, de un número casi-entero Mersenne Qp así:

\displaystyle \{Q_p\}=\int_1^p \frac{dx}{2^x-1} (9)

porque es fácil ver que, efectivamente:

\displaystyle \{Q_p\}=\int_1^p \frac{dx}{2^x-1} = \log_2(2^p - 1) -p+1 (10)

Saludos

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