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Representación gráfica de funciones complejas

Posted by Albert Zotkin en marzo 7, 2014

Hace algún tiempo yo era un obseso de la programación informática. Me pasaba horas y horas programando miles de lineas de código de aplicaciones informáticas de todo tipo. Un día me pregunté si yo sería capaz de programar desde cero una aplicación que dibujara gráfica de funciones y de otros objetos matemáticos. La respuesta a aquella pregunta fue sí, y la aplicación que construí desde cero se llama PrimeGraph, y sirve para representar gráficamente funciones y otros objetos matemáticos. Para quien sienta curiosidad sobre el código fuente de PrimeGraph lo puede encontrar aqui.

Puedo ofrecer ahora varios ejemplos de representaciones gráficas de funciones complejas. Obviamente una representación gráfica estática de una función compleja no puede literalmente ser vista ya que toda función compleja transforma un número complejo z = (a, b) en otro distinto z’= (a’,b’). Es decir, se necesitaría al menos un espacio de cuatro dimensiones para poder visualizar tal gráfica funcional. Pero, es posible, mediante algunos trucos visualizar en un único plano (2D) tales gráficas de funciones complejas. Una de ella es mediante códigos de color en el plano. Puesto que una función de variable compleja transforma un número complejo en otro, Podemos ver cómo los puntos de un plano son re-ubicados con otras coordenadas si cada punto posee un color (pixel). Supongamos que el plano inicial (el que representa a la función identidad) posee el siguiente patrón de color:

0

Partiendo de esta plano coloreado inicial podemos representar funciones complejas, como he dicho, re-ubicando los pixeles en otras coordenadas según nos dicta la función compleja que se trata de representar. Veamos mas especificamente un ejemplo. Sea el siguiente polinomio de variable compleja

\displaystyle f(z)=(z-1-2i)(z+i)(z+2)^2

entonces según el patrón de color que he presentado arriba, la representación gráfica de esa función f(z) será:

1

Supongamos ahora que el plano inicial posee el siguiente patrón de color:

2

entonces una función compleja como cosecante de z, iterada 7 veces

\displaystyle f(z)=csc(z)= \cfrac{1}{\sin (z)}

daría esta bonita y sorprendente representación gráfica:

csc-z

para los que no lo sepan, si iteramos 7 veces una función f(z) obtenemos otra función distinta:

\displaystyle f' (z)= f(f(f(f(f(f(f(z)))))))

veamos otro ejemplo de función compleja iterada usando el mismo patrón de color que antes. Ahora representaremos la función arcoseno de z iterada 2 veces

\displaystyle f(z)= \arcsin (z)

es decir tenemos la función iterada

\displaystyle f'(z)= \arcsin (\arcsin (z))

cuya respresentación gráfica en ese patrón de color será esta:
arcsin-z

Saludos

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Posted in informática, Matemáticas | Etiquetado: , , , , , , , , , | 2 Comments »

 
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