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Ciencia en español -ʟᴀ ʀᴀᴢóɴ ᴇsᴛá ᴀʜí ғᴜᴇʀᴀ-

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Hoy es el día del número π

Posted by Albert Zotkin en marzo 14, 2019

Hoy es el Día del número π, la fecha es 3/14/2019, pero sólo para quien escribe en inglés. Para nosotros, que hablamos y escribimos en español, en el formato de la fecha, primero escribimos el día del mes, después el mes y por último el año. Es decir hoy es 14/3/2019. Por lo tanto, para nosotros los hispanohablantes, hoy no es el Día del número π. De hecho, nosotros los españoles, celebramos el número π dos veces al día. A las 3 horas 14 minutos y 15 segundos de la tarde, y otra vez a la misma hora de la madrugada. ¿Por qué?. Porque somos más chulos que los sajones 😛

Al parecer, el Día del número π se le ocurrió al físico Larry Shawn, que a la sazón trabajaba en el Museo de la Ciencia Exploratorium de San Francisco. Otra curiosidad es el “lamentable” suceso de que Albert Einstein naciera el Día del número π del año 1879 (quizás por esa razón el número π aparece dentro de la ecuación de campo del susodicho personaje). Pero eso no es todo. Siguiendo la broma sajona del Día de π, tendremos que 2π = 6.28, sería el día 28 del mes de Junio. Pero, ese día del año 1971 nació Elon Musk, asi que no sigamos por esa senda.

Y para terminar esta breve reseña del número π, os dejo una fórmula hallada por mí:

\displaystyle   3 \prod _{n=1}^{\infty }\frac{36 n^2}{36 n^2 -1}=\pi

que, como se puede comprobar, se parece mucho a la hallada por el matemático John Wallis en 1605:

\displaystyle   2 \prod _{n=1}^{\infty }\frac{4 n^2}{4 n^2 -1}=\pi

Saludos

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Lemniscata (ad infinitum ∞) convergiendo hacia el número π

Posted by Albert Zotkin en enero 9, 2018

A partir de 1748 el genio de las matemáticas Leonhard Euler inició su estudio de una curiosa curva llamada lemniscata, y a raíz de eso descubrió el siguiente producto, que muestra una notable relación entre dos integrales elípticas:

\displaystyle  \int _0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}\int _0^1\frac{t^2dt}{\sqrt{1-t^4}} = \frac{\pi  }{4}  (1)
Aquí ofrezco, en maravilloso desorden, algunas relaciones semejantes que he encontrado por mi cuenta en mi pequeña investigación sobre el asunto:

\displaystyle  \int _0^1\frac{t^3dt}{\sqrt{1-t^3}}\int _0^1\frac{t^4dt}{\sqrt{1-t^6}}=\frac{\pi  }{15} (2)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^3dt}{\sqrt{1-t^8}}\int _0^1\frac{t^7dt}{\sqrt{1-t^8}}=\frac{\pi }{32} (3)
\displaystyle  \int _0^1\frac{tdt}{\sqrt{1-t^6}}\int _0^1\frac{t^4dt}{\sqrt{1-t^6}}=\frac{\pi }{12} (4)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^5dt}{\sqrt{1-t^{10}}}\int _0^1\frac{t^{10}dt}{\sqrt{1-t^{10}}}=\frac{\pi }{60} (5)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^4dt}{\sqrt{1-t^{10}}}\int _0^1\frac{t^{9}dt}{\sqrt{1-t^{10}}}=\frac{\pi }{50} (6)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^2dt}{\sqrt{1-t^{8}}}\int _0^1\frac{t^{6}dt}{\sqrt{1-t^{8}}}=\frac{\pi }{24} (7)
\displaystyle  \int _0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^{6}}}\int _0^1\frac{t^{3}dt}{\sqrt{1-t^{6}}}=\frac{\pi }{6} (8)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^5dt}{\sqrt{1-t^{12}}}\int _0^1\frac{t^{11}dt}{\sqrt{1-t^{12}}}=\frac{\pi }{72} (9)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^3dt}{\sqrt{1-t^{10}}}\int _0^1\frac{t^{8}dt}{\sqrt{1-t^{10}}}=\frac{\pi }{40} (10)
\displaystyle  \int _0^1\frac{tdt}{\sqrt{1-t^{8}}}\int _0^1\frac{t^{5}dt}{\sqrt{1-t^{8}}}=\frac{\pi }{16} (11)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^8dt}{\sqrt{1-t^{16}}}\int _0^1\frac{t^{16}dt}{\sqrt{1-t^{16}}}=\frac{\pi }{144} (12)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^4dt}{\sqrt{1-t^{12}}}\int _0^1\frac{t^{10}dt}{\sqrt{1-t^{12}}}=\frac{\pi }{60} (13)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^2dt}{\sqrt{1-t^{10}}}\int _0^1\frac{t^{7}dt}{\sqrt{1-t^{10}}}=\frac{\pi }{30} (14)
\displaystyle  \int _0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^{8}}}\int _0^1\frac{t^{4}dt}{\sqrt{1-t^{8}}}=\frac{\pi }{8} (15)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^9dt}{\sqrt{1-t^{18}}}\int _0^1\frac{t^{18}dt}{\sqrt{1-t^{18}}}=\frac{\pi }{180} (16)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^7dt}{\sqrt{1-t^{16}}}\int _0^1\frac{t^{15}dt}{\sqrt{1-t^{16}}}=\frac{\pi }{128} (17)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^3dt}{\sqrt{1-t^{12}}}\int _0^1\frac{t^{9}dt}{\sqrt{1-t^{12}}}=\frac{\pi }{48} (18)
\displaystyle  \int _0^1\frac{tdt}{\sqrt{1-t^{10}}}\int _0^1\frac{t^{6}dt}{\sqrt{1-t^{10}}}=\frac{\pi }{20} (19)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^2dt}{\sqrt{1-t^{12}}}\int _0^1\frac{t^{8}dt}{\sqrt{1-t^{12}}}=\frac{\pi }{36} (20)
\displaystyle  \int _0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^{10}}}\int _0^1\frac{t^{5}dt}{\sqrt{1-t^{10}}}=\frac{\pi }{10} (21)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^9dt}{\sqrt{1-t^{20}}}\int _0^1\frac{t^{19}dt}{\sqrt{1-t^{20}}}=\frac{\pi }{200} (22)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^7dt}{\sqrt{1-t^{18}}}\int _0^1\frac{t^{16}dt}{\sqrt{1-t^{18}}}=\frac{\pi }{144} (23)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{15}dt}{\sqrt{1-t^{16}}}\int _0^1\frac{t^{13}dt}{\sqrt{1-t^{16}}}=\frac{\pi }{96} (24)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{}dt}{\sqrt{1-t^{12}}}\int _0^1\frac{t^{7}dt}{\sqrt{1-t^{12}}}=\frac{\pi }{24} (25)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{12}dt}{\sqrt{1-t^{24}}}\int _0^1\frac{t^{24}dt}{\sqrt{1-t^{24}}}=\frac{\pi }{312} (26)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{10}dt}{\sqrt{1-t^{22}}}\int _0^1\frac{t^{21}dt}{\sqrt{1-t^{22}}}=\frac{\pi }{242} (27)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{8}dt}{\sqrt{1-t^{20}}}\int _0^1\frac{t^{18}dt}{\sqrt{1-t^{20}}}=\frac{\pi }{180} (28)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{6}dt}{\sqrt{1-t^{18}}}\int _0^1\frac{t^{15}dt}{\sqrt{1-t^{18}}}=\frac{\pi }{126} (29)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{4}dt}{\sqrt{1-t^{16}}}\int _0^1\frac{t^{12}dt}{\sqrt{1-t^{16}}}=\frac{\pi }{80} (30)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{2}dt}{\sqrt{1-t^{14}}}\int _0^1\frac{t^{9}dt}{\sqrt{1-t^{14}}}=\frac{\pi }{42} (31)
\displaystyle  \int _0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^{12}}}\int _0^1\frac{t^{6}dt}{\sqrt{1-t^{12}}}=\frac{\pi }{12} (32)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{13}dt}{\sqrt{1-t^{26}}}\int _0^1\frac{t^{26}dt}{\sqrt{1-t^{26}}}=\frac{\pi }{364} (33)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{11}dt}{\sqrt{1-t^{24}}}\int _0^1\frac{t^{23}dt}{\sqrt{1-t^{24}}}=\frac{\pi }{288} (34)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{9}dt}{\sqrt{1-t^{22}}}\int _0^1\frac{t^{21}dt}{\sqrt{1-t^{22}}}=\frac{\pi }{220} (35)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{7}dt}{\sqrt{1-t^{20}}}\int _0^1\frac{t^{19}dt}{\sqrt{1-t^{20}}}=\frac{\pi }{160} (36)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{5}dt}{\sqrt{1-t^{18}}}\int _0^1\frac{t^{17}dt}{\sqrt{1-t^{18}}}=\frac{\pi }{108} (37)

\displaystyle  \cdots

Evidentemente, podemos seguir ad infinitum 8, pero es más interesante saber si existe una fórmula genérica para estos pares de integrales que dan fracciones unitarias de p. En principio, parece fácil hallar un término general para esta clase de productos. Supongamos que, para cada par de integrales, las dos raíces cuadradas de los denominadores poseen el mismo exponente en la variable t. En la lista que he presentado, la expresión (2) sería una excepción ya que vemos que los exponentes son distintos, el 3 y el 8. Llamemos a ese exponente, que aparece en la raíz cuadrada, grado. Por ejemplo el producto que halló Euler que he escrito en la identidad (1) sería el primer elemento de una sucesión de grado 4. Esa sucesión sería la siguiente:

\displaystyle  \int _0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^{4}}}\int _0^1\frac{t^{2}dt}{\sqrt{1-t^{4}}}=\frac{\pi }{4}\text{,} \\ \\  \int _0^1\frac{t^{}dt}{\sqrt{1-t^{4}}}\int _0^1\frac{t^{3}dt}{\sqrt{1-t^{4}}}=\frac{\pi }{8}\text{,} \\ \\ \int _0^1\frac{t^{2}dt}{\sqrt{1-t^{4}}}\int _0^1\frac{t^{4}dt}{\sqrt{1-t^{4}}}=\frac{\pi }{12}\text{,}

\displaystyle \cdots

\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{n-1}dt}{\sqrt{1-t^{4}}}\int _0^1\frac{t^{n+1}dt}{\sqrt{1-t^{4}}}=\frac{\pi }{4 n}

donde n es el n-ésimo elemento de ese sucesión. Y en general para cualquier grado k, tendremos:

\displaystyle  \int _0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^{k}}}\int _0^1\frac{t^{k/2}dt}{\sqrt{1-t^{k}}}=\frac{\pi }{k}\text{,} \\ \\  \int _0^1\frac{t^{}dt}{\sqrt{1-t^{k}}}\int _0^1\frac{t^{1+k/2}dt}{\sqrt{1-t^{k}}}=\frac{\pi }{2k}\text{,} \\ \\ \int _0^1\frac{t^{2}dt}{\sqrt{1-t^{k}}}\int _0^1\frac{t^{2+k/2}dt}{\sqrt{1-t^{k}}}=\frac{\pi }{3k}\text{,}

\displaystyle \cdots

\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{n-1}dt}{\sqrt{1-t^{k}}}\int _0^1\frac{t^{n-1 +k/2}dt}{\sqrt{1-t^{k}}}=\frac{\pi }{nk}   (38)
Elijamos, por ejemplo, la identidad (33) en la lista de arriba, la cual es:

\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{13}dt}{\sqrt{1-t^{26}}}\int _0^1\frac{t^{26}dt}{\sqrt{1-t^{26}}}=\frac{\pi }{364}
Esto quiere decir que ese elemento pertenece a la sucesión de grado k = 26, y es el elemento n = 14 de la misma.

Saludos lemniscáticos a todos 😛

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Algunas expansiones del número π en fracciones continuas recientemente descubiertas por mí

Posted by Albert Zotkin en enero 4, 2013

En 1665, Brouncker [2] halló esta bonita expansión de 4/\pi como fracción continua,

\displaystyle \frac{4}{\pi} = 1 + \cfrac{1^2}{2 + \cfrac{3^2}{2 + \cfrac{5^2}{2 + \cfrac{7^2}{2 +  \cfrac{9^2}{2 +\cfrac{11^2}{2 +\cfrac{13^2}{2 +\cfrac{15^2}{2 +\cfrac{17^2}{2 +\ddots}}}}}}}}} (1)

donde obviamente los números que aparecen al cuadrados son los naturales impares.

Más recientemente, en 1999, Lange [1] halló que

\displaystyle \pi = 3 + \cfrac{1^2}{6 + \cfrac{3^2}{6 + \cfrac{5^2}{6 + \cfrac{7^2}{6 +  \cfrac{9^2}{6 +\cfrac{11^2}{6 +\cfrac{13^2}{6 +\cfrac{15^2}{6 +\cfrac{17^2}{6 +\ddots}}}}}}}}} (2)

Yo no me resistí a continuar intuitivamente esas expansiones, para hallar algunas nuevas:

\displaystyle \frac{256}{9\ \pi} = 9 + \cfrac{1^2}{18 + \cfrac{3^2}{18 + \cfrac{5^2}{18 + \cfrac{7^2}{18  +  \cfrac{9^2}{18  +\cfrac{11^2}{18  +\cfrac{13^2}{18  +\cfrac{15^2}{18  +\cfrac{17^2}{18 +\ddots}}}}}}}}} (3)

y esta otra, algo más espectacular,

\displaystyle \frac{860024356842041015625 \  \pi}{100000000000000000000} = 27 + \cfrac{1^2}{54+ \cfrac{3^2}{54+ \cfrac{5^2}{54 + \cfrac{7^2}{54+  \cfrac{9^2}{54+\cfrac{11^2}{54+\cfrac{13^2}{54+\cfrac{15^2}{54+\cfrac{17^2}{54+\ddots}}}}}}}}} (4)

Todas estas expansiones poseen la misma estructura. Si adoptamos, por ejemplo, la convención de Pringsheim para escribir fracciones continuas,, la cual es, para todo número x,

\displaystyle x = a_0 + \frac{b_0 \mid}{\mid a_1} + \frac{b_1 \mid}{\mid a_2} + \frac{b_2 \mid}{\mid a_3} \dots (5)

es decir, es otra forma (más horizontal) de escribir la fracción continua,

\displaystyle x = a_0 + \cfrac{b_0}{a_1+ \cfrac{b_1}{a_2+ \cfrac{b_2}{a_3 + \cfrac{b_3}{a_4+  \cfrac{b_4}{a_5+\cfrac{b_5}{a_6+\cfrac{b_6}{a_7+\cfrac{b_7}{a_8+\cfrac{b_8}{a_9+\ddots}}}}}}}}} (6)

y por lo tanto podemos escribir que

\displaystyle x = a_0+\sum_{n=0}^k \frac{b_n \mid}{\mid a_{n+1}}  (7)

Desde esta notación de Pringsheim, podemos decir que la estructura de las anteriores expansiones en fracciones continuas es:

\displaystyle x_m = 3^m+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)^2 \mid}{\mid 3^m \ 2}  (8)

para sucesivos m=0,1,2,3,\dots. Así, para los primeros m tenemos,

\displaystyle x_0 = 1+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)^2 \mid}{\mid  2} = \frac{4}{\pi} (9)
\displaystyle x_1 = 3+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)^2 \mid}{\mid  6} = \pi (10)
\displaystyle x_2 = 9+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)^2 \mid}{\mid  18} = \frac{256}{9\pi}= \frac{2^8}{3^2\ \pi} (11)
\displaystyle x_3 = 27+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)^2 \mid}{\mid  54} = \frac{860024356842041015625 \  \pi}{10^{20}}  = \frac{9018009\ \pi}{2^{20}} (12)

He hallado otras expansiones que tambiém encajan en esta peculiar estructura. Son las siguientes.

\displaystyle \frac{16}{\pi} = 5+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)^2 \mid}{\mid  10} (13)
\displaystyle \frac{9\pi }{4} = 7+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)^2 \mid}{\mid 14}  (14)
\displaystyle \frac{225\pi }{64} = 11+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)^2 \mid}{\mid 22} (15)
\displaystyle \frac{1024}{25\pi  } = 13+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)^2 \mid}{\mid  26} (16)
\displaystyle \frac{1225\pi }{256} = 15+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)^2 \mid}{\mid  30} (17)
\displaystyle \frac{99225\pi }{16384} =19+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)^2 \mid}{\mid  38} (18)
\displaystyle \frac{480249\pi }{65536} =23+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)^2 \mid}{\mid  46} (19)
\displaystyle \frac{41409225\pi }{4194304} =31+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)^2 \mid}{\mid  62} (20)

Referencias [1] L. Lange, An elegant new continued fraction for p, Amer. Math. Monthly 106 (1999) 456-458. [2] J. Guillera, History of the formulas and algorithms for p arXiv:0807.0872v3

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La fórmula de Machin para el cálculo acelerado de π

Posted by Albert Zotkin en diciembre 27, 2012

En el año 1706 (ya ha llovido), John Machin nos regaló el primer método de cálculo rápido del número \pi, y lo usó para calcularlo hasta una precisión de 100 cifras decimales. Eso fue un logro digno de mención, si consideramos que sus herramientas de cálculo en aquella época eran lápiz y papel. La fórmula de Machin es:

\displaystyle \frac{\pi}{4}= 4\arctan \left (\frac{1}{5} \right ) - \arctan \left (\frac{1}{239} \right )

Obviamente, debe de existir una relación entre los números 1/5 y 1/239. Si indagamos un poquito llegaremos a la conclusión de que para muchos números reales x se cumple que,

\displaystyle \frac{\pi}{4}= 4\arctan\left(\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2+2x^2+2 x \sqrt{1+x^2}}}\right ) -\arctan\left(\frac{-1+ x}{-1-x}\right )

Para el caso de la fórmula de Machín resulta más que obvio que ese número real es x=\frac{119}{120}. Podemos jugar a encontrar números reales x tal que (\frac{-1- x}{-1+x}) y (x+\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2+2 x^2+2 x \sqrt{1+x^2}}) sean número enteros. Podemos implementar esa tarea (por ejemplo para 10000 iteraciones) en Mathematica así:

Do[x = y /.Solve[y+Sqrt[1+y^2]+Sqrt[2+2y^2+2ySqrt[1+y^2]] == t, y][[1]]; If[IntegerQ[((-1-x)/(-1+x))], Print[x, “, {“, (-1-x)/(-1+x), “, “, t, “}”]], {t, 10000}]

Al ejecutar esa tarea para 100000 iteraciones vemos que solo imprime el caso \frac{119}{120} \text{,\ \{239, 5\}}, por lo que se puede plantear la conjetura: ¿es x=\frac{119}{239} es único valor que da un par de números naturales, en ese caso \{239, 5\}?

Para la iteración t=197 tenemos,

\displaystyle \frac{\pi}{4}= 4\arctan \left (\frac{1}{197} \right ) - \arctan \left (-\frac{368831231}{384121583} \right ) = \\ \\ \\  {} \hspace{0.4cm} = 4\arctan \left (\frac{1}{197} \right ) + \arctan \left (\frac{368831231}{384121583} \right )

o esta otra en t=20091,

\displaystyle \frac{\pi}{4}= 4\arctan \left (\frac{1}{20091} \right ) + \arctan \left (\frac{40724873385497839}{40741092780684799} \right )

Podemos dibujar los puntos {t, x} en el intervalo {1,100}, y unirlos todos con una linea roja

En la siguiente gráfica se ven todos los puntos a una escala más ajustada

Estudiendo un poco estos puntos en la gráfica, vemos que sólo existen cuatro puntos con la coordenada x positiva \{2,\frac{17}{31}\},\{3,\frac{31}{17}\},\{4,\frac{401}{79}\},\{5,239\}, y en particular el punto \{5,239\} constituye un máximo, mientras que el siguiente punto, \{6,-\frac{1921}{241}\} constituye un mínimo. El hipotético punto para t=1 no existe (no está definido). Observamos también que la secuencia de puntos tiende a un límite asintótico en x=-1. Por lo tanto, al ser el punto \{5,239\} el máximo, podemos concluir que la fórmula de Machin constituye la configuración más rápida para el cálculo de \pi respecto a las demás comfiguraciones de pares de números.

Por supuesto, aquí no se acaba la historia de esta fórmulita de Machin. Observamos que de la resta de arcotangentes que dan lugar a \frac{\pi}{4}, la arcotangente minuendo está multiplicada por el factor 4. De hecho la fórmula de Machin corresponde a un desdoblamiento de orden 3 en ese minuendo. Para verlo mejor, debemos partir de la identidad,

\displaystyle \frac{\pi}{4}= \arctan \left (1 \right )

ahora desdoblamos \arctan (1) en una diferencia de dos arcotangentes de forma que \arctan (1) =\arctan (\frac{1}{a})-\arctan (\frac{1}{b})

pero, primero debemos saber cómo restar y sumar arcotangentes. Sabemos que \tan(\alpha+\beta) = (\tan(\alpha)+\tan(\beta))/(1-\tan(\alpha)\tan(\beta)), y por lo tanto \tan(\alpha-\beta) = (\tan(\alpha)-\tan(\beta))/(1+\tan(\alpha)\tan(\beta)). Desde estas dos fórmulas es fácil deducir la suma y resta de arcotangentes, si recordamos que \arctan(\tan(x))=x. Así pues tenemos

\displaystyle \arctan(x) + \arctan(y) = \arctan\left(\frac{x + y}{1 - xy}\right) \\ \\ \\ \arctan(x) - \arctan(y) = \arctan\left(\frac{x - y}{1 + xy}\right)

Una vez que sabemos sumar y restar arcotangentes, podemos continuar con la fórmula de Machin. En el desdoblamiento de orden 1, buscamos dos números, \frac{1}{a} y \frac{1}{b}, tal que

\displaystyle \arctan \left (\frac{1}{a} \right ) - \arctan  \left (\frac{1}{b} \right) = \arctan \left (1 \right )

es decir,

\displaystyle \frac{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}{1+\frac{1}{ab}} = 1

con lo cual obtenemos la solución para b,

\displaystyle b=\frac{-1-a}{-1+a}

y nuestra fórmula de Machin en su primer desdoblamiento de arcotangente quedará así,

\displaystyle \frac{\pi}{4}= \arctan \left (\frac{1}{a} \right ) - \arctan \left (\frac{-1+a}{-1-a}  \right )

podemos seguir desdoblando la arcotangente minuendo, dejando invariante la arcotangente sustraendo, con lo cual obtenemos un desdoblamiento de segundo orden. Pero ahora desdoblarenos en una suma en lugar de en una diferencia como antes, con lo cual ahora hay que resolver la ecuación,

\displaystyle \frac{\frac{2}{c}}{1-\frac{1}{c^2}} = \frac{1}{a}

para obtener

\displaystyle c=a\pm\sqrt{1+a^2}

o sea, tenemos dos soluciones igualmente válidas, para el desdoblamiento de segundo orden,

\displaystyle {} \hspace{0.65cm} \frac{\pi}{4}= 2\arctan \left (\frac{1}{a-\sqrt{1+a^2}} \right ) - \arctan \left (\frac{-1+a}{-1-a}  \right ) \\ \\ \\ \\ -\frac{3\pi}{4}= 2\arctan \left (\frac{1}{a+\sqrt{1+a^2}} \right ) - \arctan \left (\frac{-1+a}{-1-a}  \right )

si ahora seguimos desdoblando la arcotangente minuendo en suma de dos arcotangentes, obtendremos el desdoblamiento de tercer orden, que corresponde, como he dicho ya, a la fórmula de Machin misma, y para ello hay que resolver la ecuación

\displaystyle \frac{\frac{2}{d}}{1-\frac{1}{d^2}} = \frac{1}{a+\sqrt{1+a^2}}

para la primera solución, y

\displaystyle \frac{\frac{2}{d}}{1-\frac{1}{d^2}} = \frac{1}{a-\sqrt{1+a^2}}

para la segunda solución. Con lo cual obtendremos cuatro soluciones para el desdoblamiento de tercer orden,

\displaystyle {} \hspace{0.65cm} \frac{\pi}{4}=4\arctan \left (\frac{1}{a+\sqrt{1+a^2}+\sqrt{2+2 a^2+2 a \sqrt{1+a^2}}} \right ) - \arctan \left (\frac{-1+a}{-1-a}  \right ) \\ \\ \\  -\frac{7\pi}{4}= 4\arctan \left (\frac{1}{a+\sqrt{1+a^2}-\sqrt{2+2 a^2+2 a \sqrt{1+a^2}}} \right ) - \arctan \left (\frac{-1+a}{-1-a}  \right ) \\ \\ \\  \\  -\frac{3\pi}{4}= 4\arctan \left (\frac{1}{a-\sqrt{1+a^2}-\sqrt{2+2 a^2-2 a \sqrt{1+a^2}}} \right ) - \arctan \left (\frac{-1+a}{-1-a}  \right )  \\ \\ \\ {} \hspace{0.4cm} \frac{5\pi}{4}=4\arctan \left (\frac{1}{a-\sqrt{1+a^2}+\sqrt{2+2 a^2-2 a \sqrt{1+a^2}}} \right ) - \arctan \left (\frac{-1+a}{-1-a}  \right )

Intentaré ahora abordar un desdoblamiento de cuarto orden a ver qué encontramos por ahi. Sólo consideraré la primera de las cuatro soluciones. Para ello hay que resolver una ecuación como esta,

\displaystyle \cfrac{\frac{2}{w}}{1-\frac{1}{w^2}} = \cfrac{1}{\frac{1}{a+\sqrt{1+a^2}+\sqrt{2+2 a^2+2 a \sqrt{1+a^2}}} }

y su primera solución es;

\displaystyle w= \frac{1}{2} \left(2 a+2 \sqrt{1+a^2}+2 \sqrt{2} \sqrt{1+a^2+a \sqrt{1+a^2}}+\sqrt{4+\left(2 a+2 \sqrt{1+a^2}+2 \sqrt{2} \sqrt{1+a^2+a \sqrt{1+a^2}}\right)^2}\right)

por lo tanto obtenemos,

\displaystyle {} \hspace{0.65cm}\frac{\pi}{4}=8\arctan \left (\frac{1}{w} \right ) - \arctan \left (\frac{-1+a}{-1-a}  \right )

Es engorroso este procedimiento con todas estas expresiones de sumas con raices cuadradas. En realidad lo único que estamos haciendo es aplicar recursivamente la fórmula de la suma o la de la diferencia para hallar los coeficientes del siguiente orden. Es decir, si aplicamos la suma, tenemos

\displaystyle \dfrac{\frac{2}{a_{n+1}}}{1-\frac{1}{a_{n+1}^2}}=\dfrac{1}{a_n}

que tiene dos soluciones,

\displaystyle a_{n+1}=a_n\pm\sqrt{1+a_n^2}

Por lo tanto, una fórmula de Machin de grado n+1 quedaría así,

\displaystyle {} \hspace{0.65cm}\frac{\pi}{4}=(2^n)\arctan \left (\frac{1}{a_n\pm\sqrt{1+a_n^2}} \right ) - \arctan \left (\frac{-1+a_0}{-1-a_0}  \right )

Para bifurcar mediante una resta hay que hacerlo con dos coeficientes distintos a_{n+1}\ne b_{n+1}, ya que si fueran iguales, su diferencia siempre sería cero y la bifurcación colapsaría estúpidamente a cero. Así pues tenemos que, por ejemplo, el coeficiente a_{n+1} puede ser cierto porcentaje arbitrario 1/k_n del coeficiente a_n, es decir, k_n a_n = a_{n+1}. Por lo tanto, ahora tenemos,

\displaystyle \dfrac{\frac{1}{k_n a_n}-\frac{1}{b_{n+1}}}{1+\frac{1}{k_n a_n b_{n+1}}} = \dfrac{1}{a_n}

cuya solución es

\displaystyle b_{n+1} = \frac{-1-k_n a_n^2}{(-1+k_n) a_n}

O sea, si queremos bifurcar \arctan(1/a_n) mediante una resta, elegimos al azar un peso k_n, por ejemplo k_n=3, por lo que tendremos,

\displaystyle \arctan  \left (\frac{1}{a_n} \right ) = \arctan \left (\frac{1}{k_na_n}\right ) - \arctan \left (\frac{a_n(-1+k_n)}{-1- k_n a_n^2}\right ) \\ \\ \\ \arctan  \left (\frac{1}{a_n} \right ) = \arctan \left (\frac{1}{3a_n}\right ) - \arctan \left (\frac{2a_n}{-1-3 a_n^2}\right )

De esta forma tan sencilla, podemos elaborar el árbol genealógico de todas las fórmulas de Machin. Eligiendo el convenio de que una bifurcación (rama) a la izquierda es desdoblamiento mediante resta, y una bifurcación a la derecha es desdoblamiento mediante suma. Las sumas se tratan con sumandos iguales, así, cuando bifurcamos mediante suma, al ser igual los dos sumando, lo único que estamos haciendo es hallando su mitad y multiplicarla por 2,

\displaystyle \arctan  \left (\frac{1}{a_n} \right ) = 2\arctan \left (\frac{1}{a_n\pm\sqrt{1+a_n^2}}\right )

Pero, también podemos sumar poniendo más peso en uno de los sumando que en el otro, igual que haciamos con la resta para que no colapsara a cero. De esta forma, eligiendo aleatoriamente un porcentaje k_n, resolvemos la ecuación

\displaystyle   \dfrac{\frac{1}{k_n a_n}+\frac{1}{b_{n+1}}}{1-\frac{1}{k_n a_n b_{n+1}}} = \dfrac{1}{a_n}

cuya solución es

\displaystyle b_{n+1} =\frac{1+a_n^2 k_n}{a_n \left(-1+k_n\right)}

y la suma quedaría así,

\displaystyle   \arctan  \left (\frac{1}{a_n} \right ) = \arctan \left (\frac{1}{k_na_n}\right ) + \arctan \left ( \frac{a_n \left(-1+k_n\right)}{1+a_n^2 k_n} \right )

Todo esto es muy bonito, pero podemos controlar mejor esta clase de fórmulas de Machin, si utilizamos números complejos. Sólo hay que darse cuenta que el argumento (ángulo) del numero complejo (a +ib) es \varphi=\arctan(b/a). O sea, si a=b entonces \varphi=\pi/4=\arctan(1). Cuando multiplicamos dos o más números complejos estamos sumando sus argumentos. Por lo canto, si para el producto de dos números complejos obtenemos otro número complejo cuyas parte real e imaginaria son iguales, (a+ib)(c+id) = k +ik, eso quiere decir el ángulo suma \pi/4, y por lo tanto podemos escribir que \pi/4 = \arctan(b/a) + \arctan(d/c). y si esos números complejos que se multiplican están elevados a los exponentes n y m respectivamente, (a+ib)^n (c+id)^m = k +ik, entonces podemos decir que \pi/4 = n\arctan(b/a) + m\arctan(d/c).

Las fórmulas de Machin son todas las que se pueden escribir así,

\displaystyle   \frac{\pi}{4} = \sum_{n}^N k_n \arctan\frac{1}{a_n}

para los número enteros k_n y a_n. Esto significa que, al usar números complejos para tratar con esta clase de fórmulas, vemos que la parte imagaria es siempre la unidad, es decir, son número de la forma z_n= a_n +i

Pongamos por ejemplo, la fórmula hallada por Kikuo Takano en 1982,

\displaystyle    \frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}

Esa fórmula obedece al producto de números complejos siguiente:

\displaystyle    z=-(49 +i)^{12}(57 +i)^{32}(-239+i)^5(110443+i)^{12}

Al calcular ese producto, vemos que es otro número complejo cuyas parte real e imaginaria son iguales, por eso representa a una fórmula de Machin,

\displaystyle    z=  2^{30} 5^{96} 13^{32} 1201^{12} (1+i)

Otro ejemplo, elegimos la fórmula Machin hallada por Gauss

\displaystyle    \frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{18} + 8 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239}

y eso representa el producto de número complejos

\displaystyle    z=(18 +i)^{12}(57 +i)^8(-239+i)^5=-2^6 5^{24} 13^{20} (1+i)


La expansión en series de potencias de \arctan y es,

\displaystyle    \arctan y = y - \frac {y^3} {3} +\frac {y^5} {5} -\frac {y^7} {7} +\cdots \\  {} \hspace{1.7cm} = \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n y^{2n+1}} {2n+1} ; \qquad | y | \le 1 \qquad y \neq i,-i

Para y=1 la serie es,

\displaystyle    \arctan 1 = \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n } {2n+1}

y esa serie converge muy lentamente hacia \pi/4. El número complejo que representa a esta serie es (1+i). El número complejo que representa a la fórmula de Machin hallada por Gauss, que he escrito arriba, es (18 +i)^{12}(57 +i)^8(-239+i)^5=-2^6 5^{24} 13^{20} (1+i). A simple vista vemos que esta última está formada por la suma de tres arcotangentes, y cada una por separado converge hacia su valor muy rápidamente. En primer lugar tenemos el sumando 12\arctan \frac{1}{18}, y los tres sumandos son

\displaystyle    12\arctan \frac{1}{18} = 12\sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n} {(2n+1)(18)^{2n+1}} \\ \\  8\arctan \frac{1}{57} = 8\sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n } {(2n+1)(57)^{2n+1}} \\ \\  5\arctan \frac{1}{239} = 5\sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n} {(2n+1)(239)^{2n+1}}

O sea, para la Machin de Gauss tenemos,

\displaystyle     \frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n} {(2n+1)} \left (\frac{12}{18^{2n+1}} + \frac{8}{57^{2n+1}} - \frac{5}{239^{2n+1}} \right )

La pregunta es ¿nos está informando el coeficiente 2^6 5^{24} 13^{20} de que la serie para la Machin de Gauss converge mucho más rápido que la simple para \arctan 1?

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