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Ciencia en español -ʟᴀ ʀᴀᴢóɴ ᴇsᴛá ᴀʜí ғᴜᴇʀᴀ-

537 ejercicios con soluciones: función Tahawus

Posted by Albert Zotkin en junio 10, 2018

A continuación presento una serie de ejercicios con ecuaciones exponenciales y funciones polinómicas super cuadráticas, en los que hallaremos las respectivas funciones inversas. Al hallar una función inversa estamos implícitamente hallando sus raíces, ya sean reales o imaginarias.

Definamos la función Tahawus, \mathcal{T} ,como la función inversa de

\displaystyle y = \frac{x^{x}-1}{x} \\ \\
es decir,
\displaystyle x=\mathcal{T}(y)
De la misma forma que la función W de Lambert, W, es la función inversa de:

\displaystyle y = x \; e^x \\ \\
es decir,
\displaystyle x=W(y)

1 Despeja la x en la siguiente ecuación:

\displaystyle x^x=y

\displaystyle \log(x^x) = \log y \\ \\  \log(x)x = \log y \\ \\ \log(x)e^{\log x} = \log y \\ \\ \log(x) = W(\log y)

\displaystyle x=e^{W(\log(y))} \\  x=\textbf{ssrt}(y)  donde ssrt(y) es la super-raíz cuadrada de y.

2 Despeja la x en la siguiente ecuación:

\displaystyle e^x +x =y

\displaystyle e^{e^x}e^x=e^y \\ \\  z=e^x \\ \\ e^{z}z =e^y  \\ \\ z =W(e^y)  \\ \\ e^x =W(e^y)  \\ \\

\displaystyle x =\log W(e^y) \\ \\  x =y-W(e^y)

3 Expresa la función W de Lambert, W(z), desde la super-raíz cuadrada ssrt(z)

\displaystyle x=e^{W(\log(y))} \\ \\ x=\textbf{ssrt}(y)\\ \\ e^{W(\log(y))}=\textbf{ssrt}(y)\\ \\  W(\log(y)) =\log \textbf{ssrt}(y)\\ \\  z= \log(y)

\displaystyle W(z)=\log \textbf{ssrt}(e^z)

4 Despeja la x en la siguiente ecuación:

\displaystyle e^{e^{e^{-x} \left(-1+\left(e^x\right)^{e^x}-e^x x\right)} \left(-1+\left(e^x\right)^{e^x}\right)} =y

\displaystyle x = \log \mathcal{T}(W( \log y))

5 Despeja la x en la siguiente ecuación:

\displaystyle \mathcal{T}(x)^{\mathcal{T}(x)}=y

\displaystyle \mathcal{T}(x) =\text{ssrt}(y) \\ \\  x =\frac{\text{ssrt}(y)^{\text{ssrt}(y)} -1}{\text{ssrt}(y)} \\ \\

\displaystyle x =\frac{y -1}{\text{ssrt}(y)} \\ \\

6 Despeja la x en la siguiente ecuación:

\displaystyle \frac{\mathcal{T}(x)^{\mathcal{T}(x)}-1}{\mathcal{T}(x)}=y

\displaystyle \mathcal{T}(x) =\mathcal{T}(y) \\ \\

\displaystyle x = y

7 Despeja la x en la siguiente ecuación de la torre infinita (Iteración exponencial de Euler):

\displaystyle x^{x^{x^{.^{.^{.}}}}}=y

\displaystyle x^{x^{x^{.^{.^{.}}}}} \log x= \log y \\ \\  y \log x= \log y \\ \\   \log x= \frac{\log y}{y} \\ \\  \log x= \log y ^{\frac{1}{y}} \\ \\

\displaystyle x = \sqrt[y]{y}

8 Sabiendo el valor de x calcula el valor de y en la torre infinita anterior (Iteración exponencial de Euler):

\displaystyle x^{x^{x^{.^{.^{.}}}}}=y \\ \\  x^{x^{x^{.^{.^{.}}}}} \log x= \log y \\ \\   \log y = y \log x \\ \\  y = e^{y \log x}  \\ \\  y e^{-y \log (x)}=  1 \\ \\  - y  \log (x) e^{-y \log (x)} =  -\log (x) \\ \\  - y  \log (x)  =W (-\log x)

\displaystyle y = \frac{W (-\log x)}{-\log x}

9 Despeja la x en la siguiente ecuación de la torre infinita (Iteración exponencial de Euler modificada):

\displaystyle x^{x^{x^{.^{.^{.}}}-1}-1}-1=y

\displaystyle (x^{x^{x^{.^{.^{.}}}}-1}-1)\log x= \log (y+1) \\ \\  y\log x=\log (y+1) \\ \\   \log x= \frac{\log (y+1)}{y} \\ \\  \log x= \log (y+1) ^{\frac{1}{y}} \\ \\

\displaystyle x = \sqrt[y]{y+1}

10 Sabiendo el valor de x, calcula el valor de y en la torre infinita anterior (Iteración exponencial de Euler modificada). O lo que es lo mismo, encuentra una forma cerrada para esa iteración infinita:

\displaystyle x^{x^{x^{.^{.^{.}}}-1}-1}-1=y \\ \\  (x^{x^{x^{.^{.^{.}}}-1}-1}-1) \log x= \log (y+1) \\ \\   \log (y+1) = y \log x \\ \\  y+1 = e^{y \log x}  \\ \\  (y+1) \; e^{-y \log x}=  1 \\ \\  -(y+1) \log(x) \; \;  e^{-y \log x} \; e^{-\log (x)} =  -\log(x) \;e^{-\log x} \\ \\  -(y+1) \log(x) \;  e^{-(y+1) \log (x)} = -\log (x) e^{-\log x} \\ \\  -(y+1)\log x = W(-\log (x) e^{-\log x}) \\ \\  y+1 = \frac{W(-\log (x) e^{-\log (x)})}{-\log x} \\ \\ \\ y = \frac{W(-\log (x) e^{-\log (x)})}{-\log x}-1 \\ \\ \\ y = \frac{W(-\frac{\log x}{x})}{-\log x}-1

\displaystyle y = \frac{W(-\log \sqrt[x]{x})}{-\log x}-1

11 Despeja la x en la siguiente ecuación:

\displaystyle \log \left(\frac{e^{x e^x}-1}{e^x}\right) =y

\displaystyle \frac{e^{x e^x}-1}{e^x} =e^y \\ \\ \frac{(e^x)^{e^x}-1}{e^x} =e^y \\ \\ e^x = \mathcal{T}(e^y)

\displaystyle x=\log \mathcal{T}(e^y)

12 Despeja la x en la siguiente ecuación:

\displaystyle x\; e^{-1+x+e^x x}\;-e^{-1+e^x x} -1=y \\ \\

\displaystyle x\; e^{-1+x+e^x x}\;-e^{-1+e^x x} -1=y \\ \\  (x e^x-1)e^{x e^x-1}-1=y\\ \\ x e^x-1 = W(y+1)\\ \\ x e^x = W(y+1)+1\\ \\

\displaystyle x e^x = W(W(y+1)+1)

13 Despeja la x en la siguiente ecuación:

\displaystyle   e^{\log (x+1) e^{\log (x+1)}}=y \\ \\

\displaystyle  \log (x+1) e^{\log (x+1)}=\log y \\ \\  \log (x+1) =W(\log y) \\ \\ x+1=e^{W(\log y)}

\displaystyle x=e^{W(\log y)}-1

14 Calcula \sqrt[x]{x}  en función de y, de la forma más simplificada posible, sabiendo que:

\displaystyle  x=\frac{W(y)}{y} \\ \\

\displaystyle xy= W(y) \\ \\ xy e^{xy}= y \\ \\ x e^{xy}= 1 \\ \\ e^{xy}=\frac{1}{x} \\ \\ xy=\log \left(\frac{1}{x}\right) \\ \\ \frac{1}{x}\log \left(\frac{1}{x}\right)=y \\ \\ \frac{1}{x}\log (x)=-y \\ \\ \log (x^{\frac{1}{x}})=-y \\ \\ x^{\frac{1}{x}}=e^{-y} \\ \\

\displaystyle \sqrt[x]{x}=e^{-y}

15 Relaciona la función W de Lambert con la función Tahawus.

\displaystyle \frac{x^x-1}{x}= y \\ \\ x= \mathcal{T}(y) \\ \\ \\ x^x = y x +1 \\ \\ x= e^{W(\log (y x +1))}\\ \\ \\

\displaystyle \mathcal{T}(y) = e^{W(\log (y \mathcal{T}(y) +1))}\\ \\
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