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El conjunto de los números fantásticamente completos y dónde encontrarlo

Posted by Albert Zotkin en marzo 7, 2018

Se me ha ocurrido una idea sencilla para estudiar los números primos desde perspectivas aún inexploradas. Vayamos al conjunto de los números complejos, y definamos el subconjunto de los números “fantástamente completos” así:

El número complejo z pertenecerá al conjunto de los números “fantástamente completos“, {Fc}, si su parte real es un número primo y su parte imaginaria es un número compuesto, o viceversa, y cumplen las siguientes propiedades:

1. Si la parte real de z es el número primo, p, entonces su parte imaginaria sólo podrá ser uno de estos números compuestos: (p+1) ó (p-1). Con lo cual tendremos cuatro valores diferentes:

\displaystyle  z=p +(p+1)i \\  z=p -(p+1)i \\ z=p -(p-1)i \\ z=p +(p-1)i (1)
2. Si la parte real de z es el número compuesto que dista sólo una unidad de un número primo, entonces tendremos también cuatro posibles números pertenecientes al conjunto Fc:

\displaystyle  z=(p+1)+pi  \\ z=(p+1)-pi  \\ z=(p-1)-pi  \\ z=(p-1)+pi (2)
3.El tercer caso es para los números complejos cuya parte real es un número compuesto, pero el menor primo mayor que él ya no dista una unidad, o el mayor primo menor que él tampoco. Por ejemplo para los complejo cuya parte real es 8, tendremos que el menor primo mayor que él es el 11, y el mayor primo menor que él es el 7: así tendremos los números:

\displaystyle  z=8+11i  \\ z=8-11i  \\ z=8+7i   \\ z=8-7i (3)

O para el 15 de parte real tendríamos:

\displaystyle  z=15 + 17i  \\ z=15 - 17i  \\ z=15 + 13i  \\ z=15 - 13i (4)
Usemos la función cuenta primos π(x). Un número entero positivo, m, es compuesto si π(m) – π(m-1) = 0, y también π(m+1) – π(m) = 0. Por el contrario, si m es primo, entonces π(m) – π(m-1) = 1, y π(m+1) – π(m) = 1. Pero, antes de intentar encontrar una forma cerrada para este último caso de números, debemos preguntarnos, que podríamos hacer con esta clase de números. Ya sabemos que dado un número primo p, podemos definir desde él, al menos, ocho complejos diferentes, los de (1) y (2). Y si tenemos de entrada un compuesto, podemos construir complejos además podrían ser del tercer caso.

Enpecemos a jugar un poco con estos números del conjunto de los “fantástamente completos“, {Fc}. Por ejemplo, seleccionemoss números de la forma m = p -(p-1)i, donde p es primo. Elevemos al cubo ese número m:

\displaystyle  m^3 = -3 p + 6 p^2 - 2 p^3 +  (-1 + 3 p - 2 p^3)i (5)
Observamos claramente que su parte real sólo puede ser un número compuesto o el primo 2, pues es divisible por 2, y su parte imaginaria sí podría ser un número primo, según el valor de p. Además, vemos que sería esa parte imaginaria un número entero negativo. Busquemos que números primos p, producen un número primo en esa parte imaginaria de m. Por mucho que búsquemos, sólo encontraremos el siguiente número complejo:

\displaystyle  m^3 = 2 - 11 i (6)
El cual, claramente, no pertenece al conjunto Fc. Pero, lo curioso de todo esto es siempre obtenemos el número p = 2. Cuando vamos elevando el número m a las sucesivas potencias, obtenemos los siguientes números cubos vuyas partes imaginarias son números primos:

\displaystyle  m = p - (p-1)\,i \\ \\ p=2,\,\, m = 2 - i \\  p=2,\,\, m^3 = 2 - 11\,i \\  p=2,\,\, m^5 =-38-41\,i\\  p=2,\,\, m^7 =-278-29\,i\\  p=2,\,\, m^{11} =2642-6469\,i\\  p=2,\,\, m^{13} =33802-8839\,i\\  p=2,\,\, m^{17} =-24478-873121\,i\\  p=2,\,\, m^{19} =-3565918-2521451\,i (7)
Observamos que sólo las potencias impares dan esos números con parte imaginaria prima. Veamos ahora las potencias pares: Veremos que sólo para m al cubo se obtiene 153 números con sucesivos valores de p, desde el 2 hasta el 7867. Los siguientes dos números obtenidos corresponden a las potencias de 5 y de 9

\displaystyle  m = p - (p-1)\,i \\ \\ p=2,\,\, m = 2 - i \\  p=2,\,\, m^3 = 3-4\,i \\ \\  p=3,\,\, m = 3 - 2\,i \\  p=3,\,\, m^3 = 5-12\,i\\  \cdots \\  p=7687,\,\, m^{3} =15373-118164564\,i\\  p=7867,\,\, m^{3} =15733-123763644\,i\\ \\  p=2,\,\, m^{5} =-7-24\,i\\  p=3,\,\, m^{9} =-239+28560\,i (8)
En resumen, que esta clase de números puede dar un juego bastante bueno, si se investiga un poco. Veamos ahora números de la forma m = p-1 –p i. Obtenemos los siguientes para potencias impares:

\displaystyle  m = p -1 - p\,i \\ \\ p=2,\,\, m = 1 - 2\,i \\  p=2,\,\, m^3 =  -11+2\,i \\  p=2,\,\, m^5 =-41 -38\,i\\  p=2,\,\, m^7 =-29-278\,i\\  p=2,\,\, m^{11} =-6469+2642\,i\\  p=2,\,\, m^{13} =-8839+33802\,i\\  p=2,\,\, m^{17} =-873121 24478\,i\\  p=2,\,\, m^{19} =-2521451-3565918\,i

(9)
Vemos que el complejo p-1 –p i, como es el conjugado de p -(p-1)i, los números obtenidos de sus potencias, también son conjugados de (9).

Nos faltaba aún encontrar una forma cerrada para el tercer caso que expliqué arriba. Es decir, dado un número entero positivo cualquiera, n, ¿cómo construir desde él los númerod fantásticamente completod, m, con sud parted reales igual a n?. La respuesta no sea hace esperar. Primero hay que hallar las partes imaginarias de esos posibles números. Para ello definimos la siguiente función, que llamaremos PrimeComplexBlock, para la cual introducimos el dato inicial n, y nos devolverá el par de números buscado:

\displaystyle   \text{\textbf{PrimeComplexBlock}}(n)= \begin{cases}  \{n - 1,\, n + 1\}    & \small \text{si \textit{n} es primo} \\  \{p(\pi(n)),\, \text{\small{\textbf{NextPrime}}}(n)\} & \small \text{en caso contrario}   \end{cases}

(10)
Es decir, si n es compuesto entonces nos devuelve el par de números {p(π(n)), NextPrime(n)}. El primer número del par nos da el mayor número primo de todos los primos menores que n. Y el segundo número del par, es decir, NextPrime(n)}, como su propio nombre indica, nos da el menor primo de todos los que son mayores a n. Pongamos un ejemplo. Sea n = 10, entonces tenemos:

\displaystyle  p(\pi(10)) = 7,\, \text{\small{\textbf{NextPrime}}}(10)=11
la funcion π(n), es la función cuenta primos, es decir, nos dice cuántos números primos hay menores o igual a n. Y la función p(n) nos da el n-ésimo número primo. Por lo tanto, ambas funciones combinadas, en p(π(n)) nos definen una función que nos da el mayor número primo de los menores a n. Así pues, para n = 10, tendremos todos estos números fantásticamente completos:

\displaystyle 10 - 7  i \\  10 + 7  i \\  10 - 11 i \\ 10 + 11 i
Fijémonos ahora en los números fantásticaente completos de la forma m = p + (p+1)i, donde p son un número primo. Calculemos los cuadrados de esos números m. Sus cuadrados son también números complejos. Seleccionemos de los sucesivos cuadrados, aquellos cuya parte real es un número primo. La sucesión de esas partes reales primas es lo que se llama números primos seguros:

\displaystyle  \text{Re} ((p +(p+1)i)^2) =\\ \\ \{5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, \\ 467, 479, 503, 563, 587, 719, 839, 863, 887, 983, 1019, 1187, 1283, \\ 1307, 1319, 1367, 1439, 1487, 1523, 1619, 1823, 1907, 2027, 2039, \\ 2063, 2099, 2207, 2447, 2459, 2579, 2819, 2879, 2903, 2963, 2999, \\ 3023, 3119, 3167, 3203, 3467, 3623, 3779, 3803, 3863, 3947, 4007, \\ 4079, 4127, 4139, 4259, 4283, 4547, 4679, 4703, 4787, 4799, 4919, \\ 5087, 5099, 5387, 5399, 5483, 5507, 5639, 5807, 5879, 5927, 5939, \\ 6047, 6599, 6659, 6719, 6779, 6827, 6899, 6983, 7079, 7187, 7247, \\ 7523, 7559, 7607, 7643, 7703, 7727, 7823, 8039, 8147, 8423, 8543, \\ 8699, 8747, 8783, 8819, 8963, 9467, 9587, 9743, 9839, 9887, 10007, \\ 10079, 10103, 10163, 10343, 10463, 10559, 10607, 10667, 10799, 10883, \\ 11003, 11279, 11423, 11483, 11699, 11807, 12107, 12203, 12227, 12263, \\ 12347, 12527, 12539, 12647, 12659, 12899, 12983, 13043, 13103, 13127, \\ 13163, 13523, 13799, 13967, 14087, 14159, 14207, 14243, 14303, 14387, \\ 14423, 14699, 14867, 15083, 15287, 15299, 15383, 15647, 15683, 15767, \\ 15803,\ldots \} (11)
sucesión A005385 en la biblioteca de secuencias OEIS. Como esas partes enteras son los llamados números seguros, resulta que estos números son a su vez números de la forma 2p + 1, donde p es otro primo, que es llamado número primo de Sophie Germain. Es decir, de la lista de arriba (11), restamos la unidad a cada uno de sus números y dividimos por 2, para obteber estos números primos de Sophie Germain:

\displaystyle \frac{\text{Re} ((p +(p+1)i)^2) -1}{2} =\\ \\ \{2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, \\ 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, \\ 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1013, 1019, 1031, 1049, 1103, \\ 1223, 1229, 1289, 1409, 1439, 1451, 1481, 1499, 1511, 1559, 1583, \\ 1601, 1733, 1811, 1889, 1901, 1931, 1973, 2003, 2039, 2063, 2069, \\ 2129, 2141, 2273, 2339, 2351, 2393, 2399, 2459, 2543, 2549, 2693, \\ 2699, 2741, 2753, 2819, 2903, 2939, 2963, 2969, 3023, 3299, 3329, \\ 3359, 3389, 3413, 3449, 3491, 3539, 3593, 3623, 3761, 3779, 3803, \\ 3821, 3851, 3863, 3911, 4019, 4073, 4211, 4271, 4349, 4373, 4391, \\ 4409, 4481, 4733, 4793, 4871, 4919, 4943, 5003, 5039, 5051, 5081, \\ 5171, 5231, 5279, 5303, 5333, 5399, 5441, 5501, 5639, 5711, 5741, \\ 5849, 5903, 6053, 6101, 6113, 6131, 6173, 6263, 6269, 6323, 6329, \\ 6449, 6491, 6521, 6551, 6563, 6581, 6761, 6899, 6983, 7043, 7079, \\ 7103, 7121, 7151, 7193, 7211, 7349, 7433, 7541, 7643, 7649, 7691, \\ 7823, 7841, 7883, 7901,\ldots \} (12)
sucesión A005384 en la biblioteca de secuencias OEIS. Estos últimos números primos de la lista (12) se llaman primos Sophie Germain, porque fué la matemática francesa Marie-Sophie Germain la primera en demostrar que el Último teorema de Fermat era cierto para esta clase de números primos.

Un saludo fantásticamente completo 🙂

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