TARDÍGRADOS

Ciencia en español -ʟᴀ ʀᴀᴢóɴ ᴇsᴛá ᴀʜí ғᴜᴇʀᴀ-

El desierto 31 de los números primos

Posted by Albert Zotkin en febrero 17, 2018

Hola amigo incondicional de Tardígrados. Hoy vamos a visitar un desierto, descubierto por mí la semana pasada, y que nadie conocía: Lo he llamado Desierto 31. Este peculiar desierto, se trata de una sucesión de números primos de la forma:

\displaystyle  D_{31,n}=2^{p(n)} - 31 (1)
donde p(n) es el n-ésimo número primo.Obviamente, no todos los números primos generarán primos de esa forma. Pero, ¿Por qué digo que D31, n es un desierto?. Si buscamos números esa clase, los primeros que encontramos son estos:

\displaystyle  D_{31,n}= \{97, 2017, 8161, 131041, 524257, 137438953441, 2199023255521,\ldots\} (2)
La sucesión de números primos, exponentes del 2, que genera la sucesión de arriba, es

\displaystyle  p(n)=\{7,11,13,17,19,37,41,61,67,89,109,149,193,383,401,\ldots\} (3)
y a su vez, la sucesión de números naturales que genera la sucesión p(n) de arriba es

\displaystyle  a(n)=\{4, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 18, 19, 24, 29, 35, 44, 76, 79,\ldots\} (4)

Aparentemente, D31, n es un desierto, porque aparecen de “golpe” los primeros números primos hasta el a15 = 79, pero más allá de n = 15 parece no haber ninguno más. La conclusión puede ser una de estas:

  • 1. D31, n es realmente un desierto, y sólo existiría el oasis de esos 15 números primos.
  • 2. O bien, he vuelto a ser victima de la Ley de los Números Pequeños (de Richard K. Guy), y en realidad existen muchos más números primos de esa clase, pero están más allá de la capacidad computacional de mis ordenadores.
Si sientes curiosidad y quieres comprobar por ti mismo que esa sucesión puede ser realmente un desierto con sólo 15 números primos, te presento las rutinas que usé en Mathematica para generar las listas:

A = List[]; Do[p = 2^ Prime[m] – 31; If[PrimeQ[p], AppendTo[A, m]], {m, 4, 100}]; A

Clear[A ]; A = List[]; Do[p = 2^ Prime[m] – 31; If[PrimeQ[p], AppendTo[A, Prime[m]]], {m, 4, 100}]; A

Clear[A ]; A = List[]; Do[p = 2^ Prime[m] – 31; If[PrimeQ[p], AppendTo[A, p]], {m, 4, 100}]; A

Puedes hacer que el índice m corra desde 1 hasta el número que tú quieras. Yo he puesto el límite superior de 100 porque ya sé que no he encontrado nada para números entre 100 y 1000.

Saludos

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