TARDÍGRADOS

Ciencia en español -ʟᴀ ʀᴀᴢóɴ ᴇsᴛá ᴀʜí ғᴜᴇʀᴀ-

Infinitas formas de dividir un número primo

Posted by Albert Zotkin en enero 25, 2018

    Uno de los hechos más asombrosos de dividir un número entero por otro, es que a veces ocurre que ciertos números sólo son divisibles por sí mismos y por la unidad, y los llamamos números primos. Pero, nadie sabe cómo esos números primos se van distribuyendo a lo largo de la sucesión de los números naturales. Ese hecho nos deja perplejos, porque no somos capaces de encontrar ninguna fórmula eficaz ni algoritmo para generar el siguiente número primo. ¿Por que ocurre eso?. Eso ocurre porque nuestra aritmética estándar es sólo una entre infinitas aritméticas posibles. En este pequeño artículo voy a definir algunas de esas aritméticas, que se me han ocurrido, pero siempre teniendo en mente que pueden haber infinitas más, desde otros criterios y perspectivas. Cada aritmética genera su sucesión única de números primos. Empecemos pues:

    Todos sabemos, o deberíamos de saber, que cuando dividimos un número natural por otro, lo podemos interpretar como un método para saber cuántos grupos de cosas se pueden formar, tal que todos los grupos posean el mismo número de ellas. Esa aritmética es básicamente una cuadrícula. Cada columna ( o cada fila) de la cuadrícula es pues un grupo de cosas, y todas tienen el mismo número. Puede ocurrir que la ultima fila o la ultima columna no tenga completas ( llenas) todas sus celdas, eso nos indica que hay un resto distinto a cero en la operación de division. Ahora borremos de nuestra mente esa cuadrícula y exploremos otras posibles formas de dividir un número por otro. Supongamos que, al dividir un número p de manzanas por otro q, lo que queremos es formar q grupos de manzanas y que cada uno contenga un número distinto. En concreto, lo que queremos es que exista una diferencia de una manzana entre los sucesivos grupos, desde el más numeroso al menos.

    Al aplicar ese criterio de división, aunque sería más apropiado hablar de distribución, entramos en el territorio de los números triangulares. Supongamos que tenemos 10 manzanas y queremos saber cuántos grupos podemos formar tal que exista esa diferencia de una unidad entre ellos al considerarlos sucesivamente. Rápidamente vemos que sólo se pueden formar 4 grupos:

    Con los números triangulares podemos definir operaciones de división y multiplicación que escapan ya de la estándar cuadriculada. Con los números triangulares, los distintos grupos que se pueden formar, con la operación de división, difieren en una unidad. En el caso del ejemplo, diremos que 10 manzanas son divisibles por 4, y el grupo más numeroso tiene precisamente 4 manzanas, y el menos numerosos tiene 1. En general, para los números triangulares tendremos que, cualquier número entero positivo p es divisible por otro q, si la siguiente igualdad se cumple:

    \displaystyle p =\frac{q(q+1)}{2}
    Y si obviamos la fórmula podemos indicar la división 10/4 de esta forma:

    \displaystyle  \frac{10}{4} = 4 ,\;\; \text{diff 1}
    que se leerá así: “10 divido por 4 igual a 4, diferencia 1“. El cociente de dividir 10 por 4 es también 4, es decir coincide con el divisor. La sucesión de los números triangulares es la siguiente,

    \displaystyle T_n=\{1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136,\dots\} \\ \\  T_n=\{1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4,1+2+3+4+5,\dots\} \\ \\  T_{n}=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +n={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \choose 2},
    Si Tn es el n-ésimo número triangular, entonces podemos decir que es divisible por n diff 1, y el cociente coincide siempre con su divisor:

    \displaystyle \frac{T_n}{n} = n ,\;\; \text{diff 1} \\ \\  T_n = n \times n = \;\; \text{diff 1}
    Veamos ahora qué otros números naturales, que no sean triangulares, son divisibles diff 1. Observamos que el primer número no triangular divisible diff 1 es el 5:

    5 es divisible por 2 diff 1, porque obtenemos dos grupos, uno de 3 manzanas y otro con 2, es decir:

    \displaystyle \frac{5}{2} = 3,\;\; \text{diff 1} \\ \\
    significa que el cociente 3 es el numero de manzanas en el grupo más numeroso, y vemos que 5 no es triangular porque el menor grupo no es la unidad. En seguida nos damos cuenta que los número no triangulares que son divisibles diff 1, son en realidad, fragmentos verticales de números triangulares
    En este caso, el menor número triangular que contiene al 5 es el 6, y el siguiente que lo contiene es el 10:

    El primer número primo diff 1 es el 2, el siguiente será el 4, y el siguiente el 8. Parecería fácil afirmar que todos los número pares que no sean triangulares serían primos diff 1, pero no, no es tan fácil, ya que existen números pares que no son triangulares, pero son divisibles diff 1. Por ejemplo:

    \displaystyle \frac{12}{3} = 5,\;\; \text{diff 1} \\ \\  \frac{18}{4} = 6,\;\; \text{diff 1} \\ \\
    En esta clase de divisiones (o distribuciones) en modo diff 1, el divisor siempre es menor o igual al cociente, nunca mayor. ¿Cómo podemos saber si un número es divisible diff 1. El primer test que ha de pasar el número es comprobar si es triangular:

    \displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}
    si en la formula de arriba, el número x, que es entero positivo, da como resultado el número n, y además vemos que es también un entero positivo, entonces x es triangular, y por lo tanto es divisible diff 1 por n. El siguiente test es para los número no triangulares. Decía yo antes, que los número no triangulares que son divisibles diff 1, son fragmentos de números triangulares. Eso expresado matemáticamente quiere decir que son la diferencia entre dos dos números triangulares. Por ejemplo, el 12 y 18, que no son triangulares, son divisibles diff 1, por que 12 = 15 – 3, donde 15 y 3 son triangulares. De igual forma 18 = 21 – 3, donde 21 y 3 son triangulares. Por lo tanto el test de divisibilidad diff 1, para los no triangulares, será ver que existen unos números x e y que son triangulares, con:

    \displaystyle y-x=p \\ \\
    con y > x, donde y es el menor número triangular conteniendo al número p. Si p es divisible por q diff 1, entonces

    \displaystyle q={\frac {{\sqrt {8(x+p)+1}}-1}{2}}
    q es el número de grupos que se pueden formar con p. El número de elemento del primer grupo (el más numeroso) será

    \displaystyle \frac{p}{q} = c_1,\;\; \text{diff 1} \\ \\
    y el número de elementos del grupo menos numeroso será:

    \displaystyle c_q=c_1 - q +1
    ¿Existen números primos diff 1?. Veamos. Construyamos una tabla de diferencias para números triangulares hasta el T10 = 55. Al hacer esto sabremos que números son triangulares y que otros son diferencias entre ellos. Por lo tantos, los que no estén en esa tabla deberán ser números primos diff 1.

    Según esta tabla de diferencias, el primer número primo diff 1 es el 16, porque no aparece en ella. El segundo candidato a número primo Diff 1 es el 23. Y los siguientes serían 28, 29, 31, 32, 36, 37, 38, 41, 43, 46, 47, 48, 50, 51, 53. Es decir, tendríamos los primos diff 1 siguientes:

    \displaystyle \{16, 23, 28, 29, 31, 32, 36, 37, 38, 41, 43, 46, 47, 48, 50, 51, 53,\dots\}
    Las celdas de la tabla que he rellenado en color rojo, corresponden a diferencias entre núeros triangulares consecutivos, pero entonces no darían lugar a distribuir en 2 ó más grupos, por lo tanto esos números de la diagonal se desechan. ¿Por qué es el número 16 primo diff 1?. Intentemos formar dos grupos de objetos que sumen 16 pero exista una diferencia de una unidad entre ellos. No se puede porque 16 es número par. Si Formamos dos grupos de 8, y le quitamos 1 a uno de ellos y se lo sumamos al otro tendremos 2 de diferencia, pero estaos en modo diff 1. Por lo tanto, no se pueden formar 2 grupos porque 16 es par. Intentemos formar 3 grupos. Si el primer hrupos tiene 7 objetos, el segundo ha de tener 6, y el tercero 5, pero entonces 7 + 6 + 5 = 18 > 16, no suma 16. Probemos con 5 elementos para el primer grupo. tendremos 5 + 4 + 3 = 12 < 16, tampoco suma 16. Y para las restantes agrupaciones resultan números aún menores. Luego 16 es el primer número primo diff 1. ¿por qué es 23 un número candidato a ser primo diff 1?. En principio , vemos que no es número par, luego podemos formar dos grupos, uno con 11 elementos y el otro con 12. Pero, el número triangular que es divisible diff1 por 2, para dar 12 de cociente, es el 78, es decir, un número mayor al 55, que no lo tenemos tabulado. Por lo tanto, 23 no es primo diff 1, pero sus divisores diff1 dan cocientes mayores a 10, En resumen, 23 es divisible por 2 diff 1, y no tiene más divisores:

    \displaystyle  \frac{23}{2} = 12 ,\;\; \text{diff 1}
    Luego todos los números impares de la lista de candidatos a números primos diff 1, se nos caen de ella porque siempre es posible encontrar para cada uno de ellos un divisor para formar dos grupos de objetos. Luego, los números primos diff 1 han de ser todos pares. Los números impares son todos divisibles por 2 diff 1. Y nuestra lista de números primos diff 1 quedaría asi:

    \displaystyle \{16,  28, 32, 36, 38, 43, 46,  48, 50, \dots\}
    ¿Por qué es 50 un número primo diff 1?. El mínimo número triangular que lo contiene es el 55, que posee 10 grupos, con 10 elementos para el mas numeroso y 1 para el menos numeroso. Pero, no existe ningún número triangular para sustraer tal que dé 50. El que más se le aproxima es el triangular 6 que tiene 3 grupos, pero daría 55 – 6 = 49:

    Los números triangulares pertenecen a una clase de números llamados números poligonales, De esta forma podemos seguir nuestro método de división, y definir qué significa que un número sea divisible diff 2. Se trata de formar grupos que tengan dos unidades de diferencia entre consecutivos, Y así entramos directamente en el territorio de los números cuadrados. Estas divisiones también generan sus números primos, los llamados números primos diff 2. En general, los número poligonales son de la forma

    \displaystyle P(s,n) = \frac{n^2(s-2)-n(s-4)}{2}
    Donde s es el número de lados del polígono. Los números primos estándar, 2,3,5,7,11,…, pertenecen al criterio de divisibilidad diff 0, y teóricamente pertenecerian a la sucesión de números definidos por polígonos de 2 lados, pero eso geométricamente es imposible. Si aplicamos el valor s = 2, a la fórmula, tenemos:

    \displaystyle P(2,n) = \frac{n^2(2-2)-n(2-4)}{2} = \frac{2n}{2}=n
    que es la sucesión de los números naturales, como no podía ser de otra forma. Así, hemos visto, en este pequeño artículo, cómo es posible definir diferentes sucesiones de números primos según el criterio de divisibilidad que apliquemos. Todos los númros primos estándar 2,3,5,7,11,… son divisibles diff 1 excepto el 2, por que son impares. Se me olvidó decir que el número 2 es obviamente el primer número primo diff 1, porque aunque admite dos grupos, la diferencia de sus elementos no es la unidad, sino 0. Y como broche final, un pequeño ejercicio:

    Halla el número de divisores diff 1 del número primo Mersenne que descubrió Euler en 1772. Es decir, tenemos el número primo estándar, diff 0, siguiente:

    \displaystyle M_{31}= 2^{31}-1= 2147483647

    Saludos

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