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Ciencia en español

Árboles y bosques: factorización unaria de un número entero

Posted by Albert Zotkin en enero 15, 2018

La factorizaración unaria de un número primo, que me inventé hace tiempo, y que ayer me atreví a escribir en un post, no la encontrarás en ningún libro de texto, ni documento, ni en ningún foro de matemáticas. Y si la empiezas a verla en foros o en referencias, la primera referencia será la mía. Esta factorización da mucho juego, más del que se podía pensar. No sólo sirve para factorizar recursivamente números primos sino números compuestos. De hecho la factorización estándar que vemos en los libros de texto es simplemente una factorización unaria parcial, que sólo llega hasta el segundo nivel dejando los exponentes sin factorizar. Por ejemplo sea el numero compuesto

\displaystyle 2^9 \times 5^{29791}\times 41\times 509 (1)
Vemos que los exponentes no han sido factorizados, ni siquiera de forma estándar. Por lo tanto se trata de una factorización parcial, basica, porque sólo se presenta en los números primos bases de sus respectivas potencias. Una factorización estándar completa sería de esta forma

\displaystyle 2^{3 \times 3} \times 5^{31^3}\times 41 \times 509
Ésta factorización sí es completa, porque todos los números que aparecen son primos, incluso los exponentes, y los exponentes de los exponentes, pero sigue siendo estándar. Aún no es una factorización unaria completa, ya que los distintos números primos que aparecen no han sido recursivamente desintegrados en sus factores primos. La factorización de este número compuesto que he puesto como ejemplo daría no un único árbol, sino 4 árboles, ya que 4 son las bases de la factorización, es decir, {2, 5, 41, 509}. Vemos pues que los números primos se representan unariamente mediante un árbol, y los números compuestos por un bosque. El de ejemplo sería el siguiente:

Vemos que el factor 5 en el nivel 1 se respite 29791 porque está elevado a ese exponente, por lo tanto en el grafo en árbol no puedo dibujar 29791 ves el 5 sin que el dibujo que de mostruosa, monona y ridiculamente largo. Asi la opción es usar puntos suspensivos para indicar esa repetición. Eso significa que sólo en ese nivel los números que se repiten se multiplican, pero en los niveles inferiores no. En el párrafo anterior al gráfico de arriba decía yo que ese número compuesto del ejemplo era un bosque compuesto por 4 árboles. Pero, al observar detenidamente el gráfico, vemos que en realidad está compuesto por 29796 árboles. 3 veces el 2, más 29791 veces el 5, más el 41 y más el 509. También se nos podría ocurrir completar el bosque para construir un único árbol, integrando las bases, pero el resultado no sería único, sino que se presentarían una serie de combinaciones. Veamos cual sería el resultado de una de esas integraciones posibles (dibujaré la más inmediata y obvia):

Donde A y B son dos números primos, pero son demasiado grandes como para incluirlos en el grafo. Es fácil ver que A = P(529791), que 235513 = P(41 x 509), y que 19 = P(8). Con lo cual el número primo B que está en la cúspide del árbol es B = P(19 x A x 235513). En general si un número compuesto se compone de n árboles entonces el número total de número primos que podemos integrar desde el sería n!. En el caso del ejemplo, y si consideramos sólo combinaciones en las que aparecen todos los 5’s en bloque y todos los 2’s bloque tambíen, tendriamos 4 árboles para integrar, con lo que serían permutaciones de 4 elementos, es decir, 4! = 24 números primos diferentes integrados desde el número compuesto inicial. Dibujemos una más de las posibles permutaciones:
En este caso el número primo A posee este valor: A = P(529791 x 41), y 38653 = P(23 x 509), por lo que el número primo B está construido de la siguiente forma: B = P(38653 x A).

Lo increiblemente maravilloso de todo este resultado es saber que existen conjuntos de números primos que están representados por un único número compuesto. Es decir, que desde un número compuesto determinado podemos construir muchos números primos. Muchos números primos poseen las mismas bases, aunque en cada uno aparecen combinadas de diferente forma. Hemos otro caso trivial de integración del número compuesto del ejemplo:

En este ultimo caso, el más trivial de todos, el número primo A esta construido mediante esta combinación de bases: A = P(23 x 529791 x 41 x 509).

Y como detalle final a este pequeño artículo de hoy, decir, que no sólo es interesante elaboran listas de números primos monstruosos, como las de GIMPS, sino también catalogar a cada número primo dentro de la familia a la que pertenece. Y para ello, lo primero que debemos hacer es disponer de una fórmula que nos genere cualquier número compuesto que deseemos. Al igual que tenemos la función P(n) que nos da el n-ésimo número primo, ahora buscamos otra función C(n) generadora que sólo nos de compuestos de la siguiente sucesión:

\displaystyle \{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32,\dots\}
La pregunta ahora es, ¿cuántos números primos desde el número compuesto C(1) = 4 pueden ser construidos con el método que he explicado arriba?. Puesto que 4 = 2 x 2, sólo tenemos una base, el 2. Por lo tanto la respuesta es que sólo podemos construir un único número primo, el P(2) = 3. Veamos ahora el siguiente compuesto, el C(2) = 6. Para ese caso tenemos las bases (2, 3), por los que las opciones combinatorias también son reducidas, pero en este caso podemos construir 2 primos distintos: el P(P(2) x P(3)) = 47 y el P(2 x 3) = 13. Para el siguiente número compuesto, C(3) = 8, tendremos ya tres copias del 2 para empezar. Así podemos construir los siguientes números primos: P(2 x 2 x 2), P(P(2) x 2 x 2), P(P(2) x P(2) x 2), P(P(2) x P(2) x P(2)). Establezcamos un par de normas para la construcción de números primos con este método:

1. todas las bases, repetidas o no deben estar en el mismo nivel de partida.
2. El número de elementos (números primos) obtenidos en cada nivel inmediato superior debe ser menor, nunca igual o mayor, que el del nivel inferior.

Siguiendo estos dos criterios, podemos integrar los casos C(3) = 8 y C(4) = 9:

“A veces los árboles no nos dejan ver el bosque”

Saludos 😉

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