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Ciencia en español

El sueño del sofomoro: Las Series Mirabili de Johann Bernoulli

Posted by Albert Zotkin en agosto 20, 2016

EL matemático Johann Bernoulli fue un genio, autor de fascinantes descubrimientos matemáticos. Cuando en 1697 empezaba a trabajar sobre algunas integrales, halló lo que después él mismo llamó las “Series Mirabili“:

\displaystyle \int_0^1 x^x \, dx = 1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^5}-\dots = \sum _{k=0}^{\infty } \frac{(-1)^k}{(k+1)^{k+1}} \\ \\  \int_0^1 x^{-x} \, dx = 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^5}+\dots = \sum _{k=0}^{\infty } \frac{1}{(k+1)^{k+1}}\\ \\  \int_0^1 x^{x^2} \, dx = 1-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^4}+\frac{1}{9^5}+\dots = \sum _{k=0}^{\infty } \frac{(-1)^k}{(2k+1)^{k+1}} \\ \\  \int_0^1 x^{\sqrt{x}} \, dx = 1-\left(\frac{2}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{4}\right)^3-\left(\frac{2}{5}\right)^4+\left(\frac{2}{6}\right)^5-\dots = \sum _{k=0}^{\infty } \frac{(-1)^k}{\left(\frac{k}{2}+1\right)^{k+1}}

Es fácil ver (aunque no sé si demostrar también) que estas series Mirabili son casos particulares de esta otra, vislumbrada por mí😛

\displaystyle  \int_0^1 x^{(sx)^r} \, dx = 1-\frac{s}{(r+1)^2}+\frac{s^2}{(2r+1)^3}-\dots = \sum _{k=0}^{\infty } \frac{(-s)^k}{(rk+1)^{k+1}}

para todo número real r, y para todo número real s. Igual que en el sueño del sofomoro, se puede demostrar, en general, esta última identidad. Sólo basta expresar

\displaystyle x^{(sx)^r} = \exp(s x^r \log x )

Saludos

REFERENCIAS:
Paul J. Nahin, Inside Interesting Integrals, Springer 2014, ISBN 978-1493912766.
A253300, A253299, A073009, A083648
William Dunham, The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton University Press, Princeton, NJ 2005, page 46-51.
Paul J. Nahin, An Imaginary Tale: The Story of sqrt(-1), Princeton, New Jersey: Princeton University Press (1988) page 146.

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