TARDÍGRADOS

Ciencia en español

Los laberintos entéricos de los números grandes

Posted by Albert Zotkin en marzo 17, 2016

Todos sabemos, o deberíamos saber, que la factorización de un número entero es simplemente expresar dicho número mediante el producto de todos los números primos que sean sus divisores, y cada primo elevado a su correspondiente exponente si lo tuviere. Esa tarea de factorización no resulta fácil. Por ejemplo, usando supercomputadoras, es posible factorizar un entero de 200 dígitos decimales en aproximadamente 1 año y medio. Esa inmensa dificultad es la base de muchos algoritmos criptográficos, como el RSA. El mejor algoritmo para factorizar es la Criba General del Cuerpo de Números, pero no reduce la dificultad. Sólo mediante una computadora cuántica sería posible reducir drásticamente los tiempos de cálculos.

Hoy vamos a ver cómo cada uno de los números enteros puede ser por sí mismo un intrincado laberinto de pasillos por los que podríamos perdernos fácilmente si no conocemos las reglas con las que están hechos. Fijémonos en el plano de la siguiente galería de pasillos:
corridor1

¿Qué representa?: pues representa a un número entero muy grande. Tal número posee nada menos que 3700544 dígitos en el sistema de numeración decimal, y lo podemos escribir mediante factores primos así:

\displaystyle 2^2 \times 5^{3^2 \times 5 \times 7^{2\times 3}} \times 11^{2\times 5^2}

Existe pues una secuencia principal de números primos que representamos como el pasillo principal de esa galería. Para este caso, esa secuencia principal es 2 ×5×11. Después, cada vez que uno de esos números primeros está elevado a un número entero, se genera una nueva secuencia de números primos, y eso se evidencia por la generación de un pasillo secundario, siempre en el lado derecho según el sentido creciente de la secuencia de primos de la que es exponente. Para mayor claridad, veamos el plano anterior con las secuencias de números primos principal y secundarias:

corridor2

Si aparecemos en el interior de un laberinto entérico de esta clase, y buscamos la salida (que también es la única entrada), lo primero que debemos hacer es avanzar hacia el final del pasillo dejando a la izquierda los pasillos secundarios que encontremos. Y cuando llegamos al final de ese pasillo debemos girar la izquierda para entrar en el pasillo que deberá ser uno inmediato inferior al que estábamos. Siempre procederemos avanzando según ese criterio, hasta llegar a la entrada del laberinto.

Consideremos ahora sólo una clase de números enteros, aquellos que son el producto de números primos sin repetición, es decir, que no posean exponentes. Por ejemplo.

\displaystyle 29\times 23\times 19\times 17\times 13\times 11 = 30808063

El laberinto entérico para esa clase de números es sencillo, ya que sólo existiría el pasillo principal. Es fácil, para esta clase de números expresarlos mediante codificación binaria. Veamos, si la secuencia principal está compactada totalmente con todos los números primos, la codificación binaria sería una sucesión infinita de 1’s. Así, el número del ejemplo anterior podrá ser codificado binariamente asi:

\displaystyle C(29\times 23\times 19\times 17\times 13\times 11) = 1111110000

Si al número anterior le substraemos, por ejemplo el divisor 17, tendremos como resultado este otro número

\displaystyle 29\times 23\times 19\times  13\times 11 = 1812239

y su codificación binaria sería:

\displaystyle C(29\times 23\times 19\times  13\times 11) = 1110110000

Es decir, los unos y los ceros de esa codificación binaria son los exponentes del producto de primos, en la secuencia principal:

\displaystyle 29^1\times 23^1\times 19^1\times 17^0 \times 13^1\times 11^1 \times 7^0  \times 5^0 \times 3^0 \times 2^0= 1812239

Así, hemos descubierto una función tal que a cada número entero del pasillo principal se le asigna un número binario que codifica a todos sus divisores primos.
Si estudiamos seriamente esta nueva función, que no podrás encontrar en ningún libro de matemáticas, ni en ninguna otra parte, porque es descubrimiento mio, llegamos a misteriosas relaciones que nos dan claves para acelerar los cálculos de los algoritmos de factorización. A esta función la llamaré Función Entérica Principal (FEP). Es decir, la FEP de 1812239 es 1110110000.

\displaystyle \text{FEP}(1812239)=1110110000

Igualmente, si pretendes ampliar el tema de los laberintos entéricos aquí propuestos, he de decir que no podrás encontrar mucho más porque es una invención mía, y por lo tanto lo mucho o lo poco que puedas encontrar es lo que yo haya escrito (o pueda escribir en el futuro) en este blog.

Saludos

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