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Ciencia en español

Gravedad cuántica: definición de nuevo centro de masas desde micro-estados mediante infra-sumas de orden -1

Posted by Albert Zotkin en octubre 28, 2014

Clásicamente, se define el centro de masas de un sistema de n partículas asi:

\displaystyle  \mathbf{R} = \frac 1M \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{r}_i,
donde mi es la masa de la partícula i, ri es su vector distancia (desplazamiento) al origen de coordenadas, M es la masa total del sistema de partículas y R es el vector distancia (desplazamiento) del centro de masas. Desde esta definición de centro de masas vemos claramente que ese punto que nos señala el vector R debe ser tal que

\displaystyle   \sum_{i=1}^n m_i(\mathbf{r}_i - \mathbf{R}) = 0

se cumpla siempre para dicho sistema de partículas. Podemos hacer esa suma adimensional si la dividimos por el producto de la masa de Planck y la longitud de Planck, mP×lP

\displaystyle   \ell_\text{P} =\sqrt\frac{\hbar G}{c^3} \\ \\  m_\text{P}=\sqrt{\frac{\hbar c}{G}} \\ \\  m_\text{P} \ell_\text{P} =\cfrac{\hbar}{c}

es decir

\displaystyle  \sum_{i=1}^n \cfrac{m_ic(\mathbf{r}_i - \mathbf{R})}{\hbar} = 0
Ahora viene la parte interesante de todo esto. Una vez que hemos hecho adimensional dicha suma, nos vamos al ámbito de las infra-sumas, y decir que si usamos el operador ⊕ de orden -1 tendremos un nuevo centro de masas ℜ tal que:

\displaystyle   \cfrac{m_1c(\mathbf{r}_1 - \cal{R})}{\hbar} \oplus \cfrac{m_2c(\mathbf{r}_2 - \cal{R})}{\hbar} \oplus \dots= -\infty

debe ser igual a -∞ por que ese es el elemento neutro de la infra-suma de orden -1. Y según la definición de infra-suma de orden -1, tendremos que

\displaystyle   \log\left(\exp(\tfrac{m_1c(\mathbf{r}_1 - \cal{R})}{\hbar}) + \exp(\tfrac{m_2c(\mathbf{r}_2 - \cal{R})}{\hbar}) + \dots\right)=-\infty=\log 0 \\ \\    \exp(\tfrac{m_1c(\mathbf{r}_1 - \cal{R})}{\hbar}) + \exp(\tfrac{m_2c(\mathbf{r}_2 - \cal{R})}{\hbar}) + \dots =  0 \\ \\   \sum_{i=1}^n \exp \left(\frac{m_ic(\mathbf{r}_i - \cal{R})}{\hbar}\right) = 0
Es evidente que la magnitud ħ/mic es la longitud de onda de Compton reducida de la partícula i del sistema, una forma muy natural de expresar la masa a escala cuántica. Pero, lo interesante está en el valor de ℜ, y ver a dónde apunta. Espero que alguien serio lea este pequeño artículo de gravedad cuántica y lo tenga en cuenta como una modesta y pequeña contribución para el progreso de la ciencia, y en particular de la gravedad cuántica.

Saludos

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