TARDÍGRADOS

Ciencia en español

Relaciones de De Broglie expresadas desde la Relatividad Galileana Completa

Posted by Albert Zotkin en mayo 10, 2013

Buenos días. incondicionales de Tardígrados. Hoy voy a hablar de las relaciones de De Broglie y de cómo es posible obtener una función de onda relativista que contenga sólo derivadas de primer orden respecto al espacio y al tiempo.

Sabemos ya que la velocidad de fase de una onda de materia puede ser expresada como

\displaystyle  c_p = \frac{E}{p}  (1)

donde E es la energía total, y p es el momento lineal. Del mismo modo, la velocidad de grupo, vg, de una onda de materia puede ser expresada como la derivada de E respecto a p

\displaystyle  v_g = \frac{dE}{dp}  (2)

esta última ecuación puede ser identificada con la velocidad relativa v del cuerpo que tiene asociada esa onda de materia, v = vg.

En Relatividad Galileana Completa, la energía total E es

\displaystyle  E = mc^2 \cosh \left(\frac{v}{c}\right)  (3)

y también en Relatividad Galileana Completa, el momento lineal es,

\displaystyle  p = mc \sinh \left(\frac{v}{c}\right)  (4)

Por lo tanto, podemos calcular (2) asi,

\displaystyle  v_g = \cfrac{dE}{dp}= \cfrac{mc^2\sinh(v/c)}{mc\cosh(v/c)} =  c\tanh \left (\frac{v}{c}\right )  (5)

y también

\displaystyle  c_p = \cfrac{E}{p}= \cfrac{mc^2\cosh(v/c)}{mc\sinh(v/c)} =  c\coth \left (\frac{v}{c}\right )  (6)

Por lo tanto, la relación entre el momento lineal y la energía total es,

\displaystyle  E^2 = (mc^2)^2 + (pc)^2  (7)

De las propiedades de las funciones hiperbólicas sabemos que

\displaystyle  \cosh(x)= 2\ \sinh^2(\frac{x}{2}) + 1  (8)

por lo que la ecuación (3), puede ser expresada así

\displaystyle  E = mc^2\cosh(v/c)= mc^2\left( 2\ \sinh^2 \left(\frac{v}{2c}\right) + 1\right) \\ \\ \\  E = mc^2 + 2mc^2 \sinh^2 \left(\frac{v}{2c}\right)  (9)

Si ahora definimos

\displaystyle  q= mc\sinh\left( \frac{v}{2c}\right)  (10)

como el momento de ese cuerpo de masa m moviéndose a la mitad de su velocidad, v/2, tendremos

\displaystyle  E = mc^2 + 2\cfrac{q^2}{m}  (11)

Por lo tanto, si igualamos con (7), tendremos

\displaystyle  \sqrt{(mc^2)^2 + (pc)^2} = mc^2 + \frac{2\ q^2}{m}  (12)

lo cual significa que la energía cinética es

\displaystyle  E_k =\cfrac{2\ q^2}{m}  (13)
Si cuantizamos (11) obtenemos,

\displaystyle  i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi = mc^2 \psi + \cfrac{2\mathbf{q}^2}{m}\psi   (14)

donde obviamente q es el operador momento en semi-velocidad.

Saludos

Una respuesta to “Relaciones de De Broglie expresadas desde la Relatividad Galileana Completa”

  1. […] Relaciones de De Broglie expresadas desde la Relatividad Galileana Completa mayo 10, 2013 […]

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