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Ciencia en español

Números primos: Acotando la conjetura de Gilbreath

Posted by Albert Zotkin en abril 4, 2013

Queridos y amables lectores. Hoy voy a hablar de la conjetura de Gilbreath, la cual aún no ha podido ser resuelta (demostrada). Esta conjetura puede ser formulada como sigue:

Definamos la diferencia entre dos números primos consecutivos asi, d_n \equiv p_{n+1}-p_n y definamos también la diferencia k-ésima, d_n^k como:

\displaystyle    d_n^k \equiv \begin{cases}  d_n    & \text{para k=1} \\    |d_{n-1}^{k-1}-d_{n}^{k-1}| &  \text{para } k > 1  \end{cases}     (1)

N. L. Gilbreath afirmaba que d_{1}^{k}=1 para todo k (Guy 1994). En 1959, dicha afirmación fue verificada para k < 63419. En 1993 Odlyzko extendió la afirmación a todos los números primos hasta \pi(10^{13}).

La conjetura de Gilbreath es equivalente a afirmar que para una disposición triangular de números primos, donde vamos tomando el valor absoluto de la diferencia entre dos términos consecutivos, los primeros términos de cada linea son siempre igual a 1,

\displaystyle    2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,... \\  1,2,2,4,2,4,2,4,6,... \\  1,0,2,2,2,2,2,2,... \\  1,2,0,0,0,0,0,... \\  1,2,0,0,0,0,... \\  1,2,0,0,0,... \\  1,2,0,0,... \\  1,2,0,... \\  1,2,... \\  1,...  \\  (2)

Intentemos ahora expresar esas diferencias de forma genérica, sin el valor absoluto, así

\displaystyle    p_1,\ p_2,\ p_3,\ p_4,\ p_5,\ p_6,\ p_7,\ p_8,\ p_9,\ p_{10},... \\  p_2-p_1,\ p_3-p_2\ ,p_4-p_3,\ p_5-p_4,\ p_6-p_7,\ p_8-p_9,\ p_{10}-p_9,... \\  \dots  (3)

Se ve claramente que los primeros términos de cada fila de diferencias pueden ser expresados así:

\displaystyle    d_1^k = \sum_{i=0}^k {k \choose i}p_{i+1} (-1)^{k+i}  (4)

pero, como digo, eso es sin aplicar el valor absoluto en cada diferencia. Por lo tanto, cuando aplicamos un valor absoluto estamos destruyendo la información sobre el signo.

Veamos ahora el siguiente bonito limite y su notable resultado,

\displaystyle     \lim_{n \to \infty}\sqrt[p_n]{p_n\#} = e   (5)

donde obviamente p_n es el n-ésimo número primo, p_n\# es el primorial de pn, y e es el número de Euler (base de los logaritmos naturales).

Estudiemos por lo tanto un poco la función

\displaystyle    F(n)=\sqrt[p_n]{p_n\#}   (6)

cuyo plot es este, observando también cómo converge asintóticamente hacia número e,

Tomenos ahora el logaritmo natural a ambos lados de (6),

\displaystyle    \ln F(n)= \ln \sqrt[p_n]{p_n\#}  \\ \\   \ln F(n) = \cfrac{\ln p_n\#}{p_n}   \\ \\   \ln F(n) = \cfrac{1}{p_n}\sum_{k=1}^n \ln p_k  \\ \\   (7)

esto significa que

\displaystyle    \lim_{n \to \infty} \ln F(n) = 1   (8)

y esto nos sugiere que podemos definir una nueva función G(x) tal que

\displaystyle    p_n = \sum_{k=1}^n G(k)  (9)

tendriamos pues que los primeros valores de G serían,

\displaystyle    G(1)=3,\ G(2)=2,\ G(3)=2,\ G(4)=4,\ G(5)=2, \dots  (10)

ya que, según la definición de G, debe ser,

\displaystyle      G(1) = 3 \\  G(1) +G(2) = 5 \\   G(1) + G(2) + G(3) = 7 \\   G(1) + G(2) + G(3) + G(4) = 11 \\   G(1) + G(2) + G(3) + G(4) +G(5) = 13    \dots  (11)

vemos que la función G se define como la diferencia de dos números primos consecutivos,

\displaystyle    p_n = G(n) + p_{n-1}  \dots  (12)

y por lo tanto tiene mucho que ver con la conjetura de Gilbreath, y con las funciones de Chebyshev.

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