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Una expansión Piramide Egipcia del número π

Posted by Albert Zotkin en febrero 23, 2013

El número \pi puede ser expresado mediante multitud de fórmulas. Una de ellas es la siguiente:

\displaystyle \cfrac{\pi}{2}=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{n!}{(2 n+1)\text{!!}} (1)

Es decir:

\displaystyle \cfrac{\pi}{2}= \cfrac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty}\cfrac{(n!)^2\ 2^{n+1}}{(2n+1)!}= \sum_{n=0}^{\infty} \cfrac{n!}{(2n+1)!!}= \\ \\ \\ = 1+ \frac{1}{3}+ \frac{1 \times 2}{3 \times 5}+ \frac{1 \times 2 \times 3}{3 \times 5 \times 7}+ \frac{1 \times 2 \times 3 \times 4}{3 \times 5 \times 7 \times 9}+\dots = \\ \\ \\ = 1+\frac{1}{3} \left (1+\frac{2}{5}\left (1+\frac{3}{7}\left (1+\frac{4}{9}\left (1+\dots\right)\right)\right) \right ) (2)
Esto significa que podemos construir la fracción continua ascendente (espejo), así:

\displaystyle \cfrac{\pi}{2}=1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{\dots}{(17/8)}}{(15/7)}}{(13/6)}}{(11/5)}}{(9/4)}}{(7/3)}}{(5/2)}}{(3/1)} (3)

Ahora, duplicamos dicha expansión para obtener la configuración piramidal egipcia de \pi:

\displaystyle \pi=1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1}{(17/8)}}{(15/7)}}{(13/6)}}{(11/5)}}{(9/4)}}{(7/3)}}{(5/2)}}{(3/1)}+\cfrac{\cfrac{\cfrac{\cfrac{\cfrac{\cfrac{\cfrac{\cfrac{1}{(17/8)}+1}{(15/7)}+1}{(13/6)}+1}{(11/5)}+1}{(9/4)}+1}{(7/3)}+1}{(5/2)}+1}{(3/1)}+1

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This entry was posted on febrero 23, 2013 a 2:12 pm and is filed under Matemáticas. Etiquetado: , , , , , . You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. You can leave a response, o trackback from your own site.

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