TARDÍGRADOS

Ciencia en español

La transformada espejo de una función

Posted by Albert Zotkin en febrero 19, 2013

En el capítulo anterior expresé la serie de Taylor o de Maclaurin de una función mediante una fracción continua espejo:

\displaystyle   f(x)=f(a)+\cfrac{f^{(1)}(a)+\cfrac{f^{(2)}(a)+\cfrac{f^{(3)}(a)+\cfrac{f^{(4)}(a)+\cfrac{f^{(5)}(a)+\cfrac{f^{(6)}(a)+\cfrac{f^{(7)}(a)+\cfrac{f^{(8)}(a)+\dots}{(8/(x-a))}}{(7/(x-a))}}{(6/(x-a))}}{(5/(x-a))}}{(4/(x-a))}}{(3/(x-a))}}{(2/(x-a))}}{(1/(x-a))} (1)
Por lo tanto, podemos definir la transformada espejo de una función ƒ(x), como otra función distinta g(x) tal que:

\displaystyle   g(x)=f(a)+ \cfrac{1/(x-a)}{f^{(1)}(a) +\cfrac{2/(x-a)}{f^{(2)}(a) +\cfrac{3/(x-a)}{f^{(3)}(a) +\cfrac{4/(x-a)}{f^{(4)}(a) +\cfrac{5/(x-a)}{f^{(5)}(a) +\cfrac{6/(x-a)}{f^{(6)}(a) +\cfrac{7/(x-a)}{f^{(7)}(a) +\cfrac{8/(x-a)}{f^{(8)}(a) +\dots}}}}}}}}    (2)
Por ejemplo, la transformada espejo de:

\displaystyle  f(x)=\cfrac{x}{e^x-1}  (3)
sería:

\displaystyle    g(x)=\cfrac{x-2}{x}    (4)
La demostración la puedes encontrar aquí.

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