TARDÍGRADOS

Ciencia en español

Las razones metálicas y sus valores espejo

Posted by Albert Zotkin en enero 20, 2013

Sabemos que el número áureo o de oro (también llamado razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) es el definido así:

\displaystyle    \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}   (1)

De igual forma podemos definir otros números (razones) metálicos,

Razón de Plata \displaystyle    \varphi_2 = 1 + \sqrt{2}   (2)
Razón de Bronce \displaystyle    \varphi_3 =\frac{3 + \sqrt{13}}{2}  (3)
Razón de Cobre \displaystyle    \varphi_4 =2 + \sqrt{5}  (4)

y así sucesivamente de tal forma que la razón metálica de orden n será,

\displaystyle    \varphi_n = \frac{n + \sqrt{n^2+4}}{2}   (5)

Las fracciones continuas de estas razones metálicas son de la forma,

\displaystyle    \varphi_n=n +\cfrac{1}{n +\cfrac{1}{n +\cfrac{1}{n +\cfrac{1}{n +\cfrac{1}{n +\cfrac{1}{n +\cfrac{1}{n +\cfrac{1}{n +...}}}}}}}}  (6)

que también puede ser escrita mediante la expresión algebraica,

\displaystyle    \varphi_n=\sqrt{1+n\sqrt{1+n\sqrt{1+n\sqrt{1+n\sqrt{1+\dots}}}}}  (7)

Fue la matemática argentina Vera G. de Spinadel (1929 –) quien descubrió esta clase de números metálicos en 1994, como el conjunto infinito de números irracionales cuadráticos positivos, que son las soluciones positivas de las ecuaciones cuadráticas del tipo

\displaystyle    x^2 -px-q=0  (8)

Esto quiere decir que existe la definición más general que la que he ofrecido al principio, para los números metálicos. Los números \varphi_n son en realidad todos los que se crean considerando q=1, por lo tanto, en general tendremos

\displaystyle    \sigma_p^q= \cfrac{p+\sqrt{p^2+4q}}{2}  (9)

Y la fracción continua genérica de los números metálicos será,

\displaystyle    \sigma_p^q=p +\cfrac{q}{p +\cfrac{q}{p +\cfrac{q}{p +\cfrac{q}{p +\cfrac{q}{p +\cfrac{q}{p +\cfrac{q}{p +\cfrac{q}{p +...}}}}}}}}  (10)

y otra expresión algebraica sería,

\displaystyle    \sigma_p^q=\sqrt{q+p\sqrt{q+p\sqrt{q+p\sqrt{q+p\sqrt{q+\dots}}}}}  (11)
es fácil demostrar que estas dos últimas recurrencias, (10) y (11), convergen hacia mismo límite L. Para la (10) podemos escribir,

\displaystyle    L =p +\cfrac{q}{L}
y resolviendo para L tenemos,

\displaystyle    L =\tfrac{1}{2} \left(p+\sqrt{p^2+4 q}\right)
Y para la (11) podemos escribir que,

\displaystyle    L =\sqrt{q+pL}
y resolviendo para L obtenemos el mismo límite que para (10).

De esta forma podemos ver que las fracciones continuas espejo de los números metálicos se expresan así,

\displaystyle    (\sigma_p^q)'=p +\cfrac{p +\cfrac{p +\cfrac{p +\cfrac{p +\cfrac{p +\cfrac{p +\cfrac{p +\cfrac{p +\cfrac{\dots}{q}}{q}}{q}}{q}}{q}}{q}}{q}}{q}}{q}  (12)

o también como,

\displaystyle    (\sigma_p^q)'= p \left (1 + \sum_{k=1}^\infty \cfrac{1}{q^k}\right )  (13)

Podemos resolver esta fracción continua espejo de la siguiente forma,

\displaystyle    L= p + \cfrac{L}{q}

(14)
\displaystyle    L =  \frac{p q}{q-1} = (\sigma_p^q)'  (15)

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