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Ciencia en español

Fracción continua espejo: continuación I

Posted by Albert Zotkin en enero 17, 2013

Como me gustó mucho el tema anterior de las fracciones continuas espejo, quiero continuarlo en este post con algunas cosillas más.

Fijémonos en la famosa fórmula de Euler,

\displaystyle   e^{ix} = \cos x + i\sin x \   (1)

podemos fácilmente expresarla como fracción continua espejo así,

\displaystyle    e^{ix}=1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+.^{.^{.}}}{(9/ix)}}{(8/ix)}}{(7/ix)}}{(6/ix)}}{(5/ix)}}{(4/ix)}}{(3/ix)}}{(2/ix)}}{(1/ix)}  (2)

En el anterior post vimos que una fracción continua espejo es en realidad la serie infinita,

\displaystyle   x'=a_0+\sum_{i=0}^{\infty} \cfrac{a_{i+1}}{\prod_{j=0}^{i} b_j }  (3)

y si consideramos al número x' como la suma de dos particiones, una de indice par y la otra de indice impar tendremos,

\displaystyle   x'= \left (a_0+\frac{a_2}{b_0b_1}+\frac{a_4}{b_0b_1b_2b_3}+\frac{a_6}{b_0b_1b_2b_3b_4b_5}+\frac{a_8}{b_0b_1b_2b_3b_4b_5b_6b_7}+ \dots \right) +  \\ \\   {}\hspace{0.5cm}+\left (\frac{a_1}{b_0}+\frac{a_3}{b_0b_1b_2}+\frac{a_5}{b_0b_1b_2b_3b_4}+\frac{a_7}{b_0b_1b_2b_3b_4b_5b_6}+\frac{a_9}{b_0b_1b_2b_3b_4b_5b_6b_7b_8}+\dots \right)  (4)

es decir,

\displaystyle   x'=\left (a_0+\sum_{i=0}^{\infty} \cfrac{a_{2i+2}}{\prod_{j=0}^{2i+1} b_j }\right) +\left (\sum_{i=0}^{\infty} \cfrac{a_{2i+1}}{\prod_{j=0}^{2i} b_j }\right)  (5)

Para el caso particular de la fórmula de Euler expresada como fracción continua espejo en (2), tendremos que

\displaystyle   a_k = 1, \ b_k = \frac{k+1}{ix} , \ \ \small {\text{para todo} \  k=0,1,2,\dots}  (6)

y por lo tanto,

\displaystyle   \cos x =\left (1+\sum_{k=0}^{\infty} \prod_{n=0}^{2k+1} \cfrac{ix}{n+1}\right) \\ \\ \\   i\sin x =\left (\sum_{k=0}^{\infty} \prod_{n=0}^{2k} \cfrac{ix}{n+1}\right)  (7)


Si la función exponencial puede ser escrita como fracción continua espejo así

\displaystyle    e^{x}=1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+.^{.^{.}}}{(9/x)}}{(8/x)}}{(7/x)}}{(6/x)}}{(5/x)}}{(4/x)}}{(3/x)}}{(2/x)}}{(1/x)}  (8)

cabe preguntarse lógicamente que características tiene la función espejo de la exponencial, que escribiremos así,

\displaystyle    \displaystyle  f(x) = 1 + \cfrac{(1/x)}{1+ \cfrac{(2/x)}{1+ \cfrac{(3/x)}{1 + \cfrac{(4/x)}{1+  \cfrac{(5/x)}{1+\cfrac{(6/x)}{1+\cfrac{(7/x)}{1+\cfrac{(8/x)}{1+\cfrac{(9/x)}{1+\ddots}}}}}}}}}    (9)

y cual es su relación con la función exponencial. Ramanujan nos dará la solución en el próximo capítulo …

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