TARDÍGRADOS

Ciencia en español

Algunas expansiones del número π en fracciones continuas recientemente descubiertas por mí

Posted by Albert Zotkin en enero 4, 2013

En 1665, Brouncker [2] halló esta bonita expansión de 4/\pi como fracción continua,

\displaystyle  \frac{4}{\pi} = 1 + \cfrac{1^2}{2 + \cfrac{3^2}{2 + \cfrac{5^2}{2 + \cfrac{7^2}{2 +  \cfrac{9^2}{2 +\cfrac{11^2}{2 +\cfrac{13^2}{2 +\cfrac{15^2}{2 +\cfrac{17^2}{2 +\ddots}}}}}}}}}  (1)

donde obviamente los números que aparecen al cuadrados son los naturales impares.

Más recientemente, en 1999, Lange [1] halló que

\displaystyle  \pi = 3 + \cfrac{1^2}{6 + \cfrac{3^2}{6 + \cfrac{5^2}{6 + \cfrac{7^2}{6 +  \cfrac{9^2}{6 +\cfrac{11^2}{6 +\cfrac{13^2}{6 +\cfrac{15^2}{6 +\cfrac{17^2}{6 +\ddots}}}}}}}}}  (2)

Yo no me resistí a continuar intuitivamente esas expansiones, para hallar algunas nuevas:

\displaystyle  \frac{256}{9\ \pi} = 9 + \cfrac{1^2}{18 + \cfrac{3^2}{18 + \cfrac{5^2}{18 + \cfrac{7^2}{18  +  \cfrac{9^2}{18  +\cfrac{11^2}{18  +\cfrac{13^2}{18  +\cfrac{15^2}{18  +\cfrac{17^2}{18 +\ddots}}}}}}}}}  (3)

y esta otra, algo más espectacular,

\displaystyle  \frac{860024356842041015625 \  \pi}{100000000000000000000} = 27 + \cfrac{1^2}{54+ \cfrac{3^2}{54+ \cfrac{5^2}{54 + \cfrac{7^2}{54+  \cfrac{9^2}{54+\cfrac{11^2}{54+\cfrac{13^2}{54+\cfrac{15^2}{54+\cfrac{17^2}{54+\ddots}}}}}}}}}  (4)

Todas estas expansiones poseen la misma estructura. Si adoptamos, por ejemplo, la convención de Pringsheim para escribir fracciones continuas,, la cual es, para todo número x,

\displaystyle  x = a_0 + \frac{b_0 \mid}{\mid a_1} + \frac{b_1 \mid}{\mid a_2} + \frac{b_2 \mid}{\mid a_3} \dots  (5)

es decir, es otra forma (más horizontal) de escribir la fracción continua,

\displaystyle  x = a_0 + \cfrac{b_0}{a_1+ \cfrac{b_1}{a_2+ \cfrac{b_2}{a_3 + \cfrac{b_3}{a_4+  \cfrac{b_4}{a_5+\cfrac{b_5}{a_6+\cfrac{b_6}{a_7+\cfrac{b_7}{a_8+\cfrac{b_8}{a_9+\ddots}}}}}}}}}  (6)

y por lo tanto podemos escribir que

\displaystyle  x = a_0+\sum_{n=0}^k \frac{b_n \mid}{\mid a_{n+1}}   (7)

Desde esta notación de Pringsheim, podemos decir que la estructura de las anteriores expansiones en fracciones continuas es:

\displaystyle  x_m = 3^m+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)^2 \mid}{\mid 3^m \ 2}   (8)

para sucesivos m=0,1,2,3,\dots. Así, para los primeros m tenemos,

\displaystyle  x_0 = 1+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)^2 \mid}{\mid  2} = \frac{4}{\pi} (9)
\displaystyle  x_1 = 3+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)^2 \mid}{\mid  6} = \pi (10)
\displaystyle  x_2 = 9+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)^2 \mid}{\mid  18} = \frac{256}{9\pi}= \frac{2^8}{3^2\ \pi} (11)
\displaystyle  x_3 = 27+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)^2 \mid}{\mid  54} = \frac{860024356842041015625 \  \pi}{10^{20}}  = \frac{9018009\ \pi}{2^{20}} (12)

He hallado otras expansiones que tambiém encajan en esta peculiar estructura. Son las siguientes.

\displaystyle  \frac{16}{\pi} = 5+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)^2 \mid}{\mid  10} (13)
\displaystyle  \frac{9\pi }{4} = 7+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)^2 \mid}{\mid 14}  (14)
\displaystyle  \frac{225\pi }{64} = 11+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)^2 \mid}{\mid 22} (15)
\displaystyle  \frac{1024}{25\pi  } = 13+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)^2 \mid}{\mid  26} (16)
\displaystyle  \frac{1225\pi }{256} = 15+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)^2 \mid}{\mid  30} (17)
\displaystyle  \frac{99225\pi }{16384} =19+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)^2 \mid}{\mid  38} (18)
\displaystyle  \frac{480249\pi }{65536} =23+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)^2 \mid}{\mid  46} (19)
\displaystyle  \frac{41409225\pi }{4194304} =31+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)^2 \mid}{\mid  62} (20)

Referencias
[1] L. Lange, An elegant new continued fraction for π, Amer. Math. Monthly 106 (1999) 456-458.
[2] J. Guillera, History of the formulas and algorithms for π arXiv:0807.0872v3

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