TARDÍGRADOS

Ciencia en español

Una conjetura sobre números primos y el número e (número de Euler)

Posted by Albert Zotkin en enero 3, 2013

El otro día, mientras jugaba con algunas fracciones contínuas, descubrí que el número,

\displaystyle  r_p = 1 + \cfrac{1^2}{2 + \cfrac{2^2}{2 + \cfrac{3^2}{2 + \cfrac{5^2}{2 +  \cfrac{7^2}{2 +\cfrac{11^2}{2 +\cfrac{13^2}{2 +\cfrac{17^2}{2 +\cfrac{19^2}{2 +\ddots\,}}}}}}}}}=1.3181827562\dots

donde los números que están al cuadrado son la sucesión infinita de números primos. Y este otro número,

\displaystyle  r_c = 1 + \cfrac{4^2}{1 + \cfrac{6^2}{1 + \cfrac{8^2}{1 + \cfrac{9^2}{1 +  \cfrac{10^2}{1 +\cfrac{12^2}{1 +\cfrac{14^2}{1 +\cfrac{15^2}{1 +\cfrac{16^2}{1 +\ddots\,}}}}}}}}}=3.5612348554\dots

donde los números que están al cuadrado son la sucesión infinita de números compuestos (no primos), y donde se considera que el primer no primo es el número 4. Tendremos entonces el notable resultado,

\displaystyle  \dfrac{r_c}{r_p} = e

donde e es el número de Euler, base de los logaritnos neperianos. Es decir, puesto que este notable resultado no está provado, si resultara ser cierto, entonces tendriamos la brillante relación

\displaystyle   \ln r_p = \ln r_c - 1

En Mathematica el cálculo de r_p lo he implementado así (hasta 80000 iteraciones y precisión de 50 cifras decimales),

r_p=N[1 + 1/(2 + ContinuedFractionK[Prime[k]^2, 2, {k, 1, 80000}]) , 50]

y para calcular r_c, primero hay que definir la función Composite para obtener los sucesivos números no primos, así,

Composite[n_Integer] := FixedPoint[n + PrimePi[#] + 1 &, n]

y después implimentamos también para 80000 iteraciones,

r_c=N[(1 + ContinuedFractionK[Composite[k]^2, 2, {k, 1, 80000}]) , 50]

Los plots de las primeras 100 convergentes de ambos números son,
Table[1+1/(2+ContinuedFractionK[Prime[k]^2,2,{k,1,n}]),{n,1,100}]//N//ListPlot

Table[1+1/(2+ContinuedFractionK[Prime[k]^2,2,{k,1,n}]),{n,1,100}]//N//ListPlot


Table[(1+ContinuedFractionK[Composite[k]^2,2,{k,1,n}]),{n,1,100}]//N//ListPlot

Table[(1+ContinuedFractionK[Composite[k]^2,2,{k,1,n}]),{n,1,100}]//N//ListPlot

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