TARDÍGRADOS

Ciencia en español

Números repunit, codificación unaria, números primos, y una definición de número primordial

Posted by Albert Zotkin en diciembre 25, 2012

1. Número repunit:
Un número repunit es un número entero positivo consistente en n copias de la cifra 1. Por ejemplo el número

1111 = \cfrac{10^4-1}{9}

es un número repunit expresado en sistema de numeracion decimal (base 10). En general, para cualquier base b\geq 2 de sistema de numeración, y para cualquier natural n\geq 1, tendremos el número repunit,

R_n =\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} (b-1) b^i = \cfrac{b^n-1}{b-1}

Vemos que, por ejemplo, en base binaria, al número 1111, el cuál está escrito en binario y que corresponde al número 15 escrito en sistema decimal, le corresponderá un n tal que

15 = \cfrac{2^n-1}{2-1} \\ \\  2^n = 15 + 1 \\ \\  n = \cfrac{\ln 16}{ \ln 2} = 4

Los números Mersenne se definen como M_n = 2^n-1, por lo tanto son realmente los números repunit de base 2.
2. Código unario:
La codificación unaria es una codificación entrópica que representa a un número natural n, como una cadena de n unos. Es decir, una codificación unaria está relacionada con los números repunit, aunque no se corresponde exactamente con ellos. Vemos pues que el sistema de numeración unario hace uso de esta codificación unaria. Dicho sistema de numeración es el más simple, y es un sistema biyectivo de base 1
3. Números repunit primos:
Es fácil ver que, en base 10, si n is divisible por a entonces R_n es divisible por R_a, por lo tanto, si queremos que R_n sea primo, necesariamente n debe ser primo. Pongamos algunos ejemplos:

  1. 9 es divisible por 3, por lo tanto 

    \cfrac{R_9}{R_3} =\cfrac{111111111}{111} = 1001001

  2. 10 es divisible por 5, por lo tanto 

    \cfrac{R_{10}}{R_5} =\cfrac{1111111111}{11111} = 100001

  3. 10 es divisible por 2, por lo tanto 

    \cfrac{R_{10}}{R_2} =\cfrac{1111111111}{11} = 101010101

  4. 14 es divisible por 7, por lo tanto 

    \cfrac{R_{14}}{R_7} =\cfrac{11111111111111}{1111111} = 10000001

Lo contrario no es cierto siempre. Es decir, si n es primo, entonces R_n no es necesariamente primo. Por ejemplo, 13 es primo, pero R_{13} = \frac{10^{13}-1}{9} = 1111111111111 no es primo ya que es divisible por 53,

R_{13} = 1111111111111 = 53 \times 20964360587

Es reseñable el hecho de que cuando un número repunit R_n es divisible por otro número repunit R_a, debido a que a divide a n, se obtiene un número que siempre empieza y termina por la cifra 1 y en su interior siempre aparecen secuencias de ceros y unos. Esas secuencias internas de ceros y unos, que por cierto, siguen cierto órden que después veremos, nos están diciendo que ese cociente no es otro número repunit.
Si R_a |R_n , y a | n entonces R_n/R_a no es repunit.
Ese número cociente debe tener n-a+1 cifras, empezar y terminar por 1, y en el interior debe aparecer secuencias periódicas de a-1 ceros más un 1 al final

NÚMEROS PRIMORDIALES

Voy a definir un número primordial de la siguiente forma:
Sea m = 2^n -1 un número Mersenne. Entonces, puesto que m al ser escrito en sistema de numeración binario solo contiene el dígito 1 (o sea, decimos que m es un número repunit en base 2), podemos transformar dicho número sustituyendo los unos por ceros en aquellos lugares cuyo ordinal sea un número primo. Dicho número será llamado primordial. Por ejemplo, el número escrito en binario, m=111111111111_2, lo transformamos en m' = 100101011101_2, el cual expresado en el sistema de numeración decimal es m'=2397. Otro ejemplo, m'=100101011101011101011101111101_2, que en decimal es m'=628479869. Estos números pertenecen a la secuencia[1],

[1,2,9,37,599,2397,38359,153437,2454999,157119967,\\  628479869,40222711647,643563386359,2574253545437,\\  41188056726999,2636035630527967,\\  168706280353789919,674825121415159677,\\  43188807770570219359,...]

CONSTANTE PRIMORDIAL \mathcal{P}
Sea el numero racional expresado en binario 1.111111111111111111_2\dots, . Vemos que ese número es la serie geométrica 2^{0} + 2^{-1} + 2^{-2} + 2^{-3} + 2^{-4} + \dots= \sum_{i=0}^\infty 2^{-i}=2. entonces, al aplicarle una transformación primordial, obtenemos \mathcal{P}=1.00101011101011101011101111101_2\dots, que es un número claramente irracional. Vemos que dicho numero está en el intervalo (1,2), es decir, 1<\mathcal{P}<2. Calculemos el valor numérico de esta constante hasta el sumando 10000 con Mathematica usando la expresion

\bf{N[Sum[(If[PrimeQ[n + 1], 0, 1]) 2^{-n}, \{n, 0, 10000\}]]}

con lo que obtenemos el número irracional

\mathcal{P}=1.1706349802977767\dots [2]

si ahora definimos una transformación inversa a la primordial, es decir en el número en binario 1.111111111111111111_2\dots sustituimos los unos por ceros en aquellos lugares cuyo ordinal NO sea un número primo, obtendremos el número \mathcal{P'}=0.110101000101000101_2\dots, que expresado en base decimal es \mathcal{P'}=0.8293650197022233\dots. Es decir que \mathcal{P'} es también irracional, pero la suma

\mathcal{P}+\mathcal{P'}=1.1706349802977767\dots + \\ {} \hspace{2.18cm} 0.8293650197022233\dots =2

vemos que no es un número irracional, como era de esperar.

La constante \mathcal{P'} también es llamada constante de van der Waerden-Ulam[3].


Referencias
[1]   Secuencia [A139102] en la fundación OEIS.
[2]   Secuencia [A119524] en la fundación OEIS.
[3]   S. M. Ulam, Problems in Modern Mathematics, John Wiley and Sons, New York, 1960, page 54.

Una respuesta to “Números repunit, codificación unaria, números primos, y una definición de número primordial”

  1. […] saber más sobre estos números os dejo más enlaces: Tardigrados, MathWorld y […]

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