TARDÍGRADOS

Ciencia en español

La post-apocalíptica fórmula del Doctor Koide cabalga de nuevo

Posted by Albert Zotkin en diciembre 22, 2012

Amables y perdurables lectores. Una vez que hemos supervivido al apocalipsis Maya del 21 de Diciembre de 2012, he de reconocer que el ser humano es esa maravillosa criatura capaz de pervivir más allá de la muerte de los estultos. Queda aún lejos en el futuro el 9 febrero de 2027, próxima parada nupcial de la Novia Cadaver, fecha amanerada extraida de la Biblioteca de los Muertos, como inminente fetiche de la Escatología Glenn-Cooperiana.

Para quienes, después de superar un apocalipsis, aún sigan sin saber qué es la fórmula de Koide y por qué es importante para la física de partículas, les contaré un pequeño resumen wikipédico:

La Fórmula de Koide, descubierta en 1981 por Yoshio Koide, es una relación entre las masas de los tres leptones cargados (electrón, muón, leptón tau), que predijo la masa del leptón tau. Esta relación, no obstante, no ha podido ser explicada hasta la fecha.

\displaystyle   Q = \frac{m_e + m_{\mu} + m_{\tau}}{(\sqrt{m_e}+\sqrt{m_{\mu}}+\sqrt{m_{\tau}})^2}

La salsa de esta fórmula está en su valor físico. Las masas del electrón, muon, y leptón tau se miden respectivamente como m_e = 0.511\ \rm{MeV}/c^2,\ m_{\mu}=105.7\ \rm{MeV}/c^2,\ m_{\tau} = 1777\ \rm{MeV}/c^2, de donde se obtiene que Q = \frac{2}{3} \pm 0.01 \normalsize  \mathrm{ \%}.
No sólo este resultado es extraño porque de tres números aparentemente aleatorios resulta una fracción sencilla, sino también porque Q es exactamente la media entre 1/3 y 1. Hasta ahora, este resultado no ha podido ser explicado ni comprendido.

Seguidamente ofreceré una interpretación geométrica de la fórmula, y una explicación en un contexto non-mainstrean (no estándar, no oficial) de relatividad Galileana Extendida (Completa).

Empecemos por la interpretación geométrica. El teorema de Descartes dice que si cuatro circulos son tangentes dos a dos en seis puntos distintos, y dichos círculos tienen curvaturas k_1,\ k_2,\ k_3,\ k_4, dicho teorema establece que,

\displaystyle  (k_1+k_2+k_3+k_4)^2=2\,(k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2)

Sabemos que una curvatura k de círculo está definida así k=1/r, donde r es el radio de curvatura.

Nuestros sagaces post-apocalíticos lectores ya se habrán percatado de que las curvaturas k_i de cada uno de esos círculos cartesianos y las respectivas masas m_i de los leptones cargados se relacionarán así k_i=\sqrt{m_i}. Pero también se habrán percatado de dos pequeñas minucias sin importancia: que no existen cuatro leptones cargados en la naturaleza sino sólo tres, y que el número de Koide no es Q=1/2 sino Q=2/3.

Podriamos pagar el diezmo de esas dos pequeñas menudencias de la siguiente forma: primero, podriamos especular que existe un cuarto leptón de gran curvatura (gran masa) k_4 \approx \infty, y en tal caso dariamos por válido el número Q=1/2 (para esos cuatro leptones), con lo cual podriamos precedir la masa del cuarto leptón cargado desde la masa de los restantes. Dicha masa sería

\displaystyle   k_4 = k_1 + k_2 + k_3 \pm2 \sqrt{k_1 k_2 + k_2 k_3 + k_3 k_1} \\ \\   \sqrt{m_4}=\sqrt{m_e}+\sqrt{m_{\mu }}+\sqrt{m_{\tau }} \ \pm \ 2  \sqrt{\sqrt{m_e m_{\mu }}+\sqrt{m_e m_{\tau }}+\sqrt{m_{\mu } m_{\tau }}} \\ \\   m_4 = \rm{9321.84\  MeV} =  \rm{9.3\  GeV}

O tambien podriamos suponer un cuarto leptón de pequeña curvatura (pequeña masa) k_4 \approx 0
k5

Con lo cual, podriamos predecir una de las tres masas que son significativamente mayores a cero,

\displaystyle  k_3=k_1+k_2\pm2\sqrt{k_1k_2}.

pero, eso tampoco parece que se observe en la naturaleza. Sin embargo, si queremos insistir en esta interpretación geométrica, podemos usar la generalización del teorema a tres dimensiones. En general, tendremos el teorema de Soddy–Gosset para cualquier número de dimensiones espaciales,

\displaystyle  \left(\sum_{i=1}^{n+2} k_i\right)^2 = n\,\sum_{i=1}^{n+2} k_i^2

donde el caso k_i = 0 corresponde a un hiperplano. Y para n=3, obviamente tendremos,

\displaystyle  \left(\sum_{i=1}^{5} k_i\right)^2 = 3\,\sum_{i=1}^{5} k_i^2

pero, aplicado al caso de los leptones cargados, esto implicaría que deben existir cinco generaciones en lugar de las tres observadas. Recientemente el LHC ha descartado casi definitivamente que exista una cuarta generación de leptones cargados. Además, ahora el número de Koide sería Q=1/3 en lugar de Q=2/3 . El número observado Q=2/3 sugiere pues un número fractal de dimensiones espaciales, n=3/2, o también puede sugerir que el espacio tridimensional, donde residen los leptones cargados, posee dos caras o lados.

Los leptones, o más genéricamente los fermiones, se moverían simultáneamente por las dos caras de ese espacio tridimensional deshojado (two-fold). Una forma de visualizar eso sería dibujar una esfera intersectada por un plano ecuatorial que separa los dos lados o caras de ese espacio 3D + tiempo.

En cuanto a la explicación relativista, me he dado cuenta de que merece un post dedicado aparte porque hay que detallar minuciosamente todos los aspectos que entran en juego.

Saludos

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