TARDÍGRADOS

Ciencia en español

¿De qué forma Gauss habría resuelto la hipótesis de Riemann?

Posted by Albert Zotkin en diciembre 20, 2012

El genio Johann Carl Friedrich Gauss murió en 1855, cuatro años antes de que Riemann publicara su famosa hipótesis acerca de la función zeta y sus ceros no triviales. Si Gauss hubiera llegado a tiempo a saber de esa conjetura, y obsesionándose con ella en su justa medida y en sus mejores momentos de forma intelectual, seguramente la habría resuelto brillantemente, y desde ese momento estelar a todo el mundo le parecería una solución más que evidente y fácil de entender, incluso por la abuela de Riemann. La pregunta es pues ¿Es posible atisbar siquiera de qué forma habría empezado Johann Carl Friedrich Gauss a solucionar la hipótesis de Riemann?, y la respuesta es sí, es posible y además muy esperanzador. Lo que sigue se me ocurrió el otro día cuando jugaba con unos cacharrillos matemáticos llamados pairing functions y al mismo tiempo recordaba qué eran los números de Gauss.

Un número entero de Gauss es un número complejo cuyas partes real e imaginaria son ambas números enteros. Este conjunto de números junto con las operaciones de suma y multiplicación de números complejos forma un dominio de integridad, y aunque este conjunto de números no posee orden total, si puede ser numerado mediante una pairing function.

Lo primero que habría hecho Gauss con la función zeta de Riemann habría sido extenderla a los enteros de Gauss, así

\displaystyle  \zeta(s) = \sum^\infty {\frac{1}{g^s}}

donde g= m +in es un entero de Gauss, y en el sumatorio corre hasta infinito mediante una pairing function. Por ejemplo, podriamos elegir la pairing function de Ulam, que cuenta en espiral desde el origen de coordenadas en el plano complejo,

Puesto que g es un número complejo (entero de Gauss), la función zeta de Riemann extendida puede escribirse de la siguiente forma también,

\displaystyle  \zeta(s) = \sum^\infty {|g|^{-s} e^{-is\varphi} }= \sum^\infty { |g|^{-s} ( \cos(-s\varphi)+i\sin(-s\varphi)) }

donde obviamente, |g| es el módulo de g, y \varphi es su argumento (fase).

Fijándonos en la cuadrícula de la figura de arriba, vemos que he señalado los números primos al ir contando en espiral (espiral de Ulam). Y si elegimos el convenio de asociar a cada cuadro de la cuadrícula un número entero de Gauss, cogiendo el vértice superior derecho de cada cuadrado, vemos claramente que cada número primo esta asociado a (uno y sólo uno) un entero de Gauss. Sin embargo, estos número de Gauss no son los llamados número primos de Gauss, los cuales están definidos de la siguiente forma:

Se dice que un número entero de Gauss, g = m+in , es primo Gaussiano si satisface los siguientes propiedades:

1. Si m y n no son cero, entonces g = m+in es primo Guassiano si m^2+n^2, es primo ordinario.
2. Si m=0, entonces n es primo Gaussinao si |n| es primo ordinario y |n|\equiv 3 \pmod{4}
3. Si n=0, entonces m es primo Gaussinao si |m| es primo ordinario y |m|\equiv 3 \pmod{4}

Una pregunta bastante fácil de responder sería la siguiente: Si la función zeta de Riemann puede expresarse mediante el producto de Euler así,

\displaystyle  \zeta(s) = \prod_p^\infty \frac{1}{1-p^s}

donde p corre por los sucesivos e infinitos números primos ordinarios, ¿es posible expresar la función zeta de Riemann extendida a enteros guassianos mediante un producto similar al anterior, pero donde los p corran por todos los primos Gaussianos por medio de alguna pairing function (como la de Ulam, o la de Cantor)?

Y para aquellos que se atrevan a intentar solucionar la hipótesis de Riemann, sólo decirles que pueden empezar por la ecuación Gaussiana anterior,

\displaystyle     \boxed{\sum^\infty { |g|^{-s} ( \cos(-s\varphi)+i\sin(-s\varphi)) } =0}

¡Suerte!

Una respuesta to “¿De qué forma Gauss habría resuelto la hipótesis de Riemann?”

  1. Bernhard Riemann said

    Me parece algo extraña la forma de tomar como subíndice a los números de gauss, y no a los naturales. Esto es dejar el problema sin tener en cuenta la ordinalidad de los naturales. Quizá lo que se debería de tomar como la variable de la función zeta es un número de Gauss, en términos descriptivos…

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s