TARDÍGRADOS

Ciencia en español

Los números de Apéry

Posted by Albert Zotkin en diciembre 13, 2012

Los números Apéry, \mathcal{A}_n, serán las secuencias infinitas de números reales que definiré de la siguiente forma:

\mathcal{A}_n = \cfrac{(-1)^n\zeta(2n+1)(2n+1)!}{2^{2n}\pi^{2n+1}}

para enteros n \geq 1, donde \zeta(2n+1) es la función Zeta de Riemann. Los primeros números de Apéry son:

\mathcal{A}_1 = -0.058152269404375198412\dots, \\   \mathcal{A}_2 = 0.025413261140478505320\dots,  \\   \mathcal{A}_3 = -0.026291323260780709376\dots,  \\   \mathcal{A}_4 = 0.047648098352214323897\dots,  \\   \mathcal{A}_5 = -0.13256281935954208463\dots,  \\   \mathcal{A}_6 = 0.52363095673728137463\dots \\   \mathcal{A}_7 = -2.7851261150353718563\dots,  \\   \mathcal{A}_8 = 19.188634274938874681\dots,  \\   \mathcal{A}_9 = -166.22944190788221444\dots,  \\   \mathcal{A}_{10} =  1768.4666689134557020\dots,  \\   \mathcal{A}_{11} = -22666.658611822335810\dots,  \\   \mathcal{A}_{12} =  344492.87116176440976\dots

existe una forma integral para los números de Apéry:

\mathcal{A}_n =\displaystyle  \int_{0}^{1} B_{2n+1}(x) \tan (\tfrac{1}{2} \pi x ) dx

donde B_{2n+1} (x) es un polinomio de Bernoulli. Escribamos los primeros doce números de Apéry con mil cifras significativas cada uno:

A1=-0.05815226940437519841167983547808172470935185205932886883469014318566570551843028290777694819085986570639925
214781494893375700210173977264092820409435472450182930553858974692386070474621546895176806001953564953657988698
374510013120031157577348724817651997860167723594312705902590755152632580478836348204748677562945077209908055910
209261777331085489687246057222353404008890388710183846478017534135564909209371069086143183617008853159703600826
223620610619120879275068071547676011576109454059904723011068037649719660429991420724742762622193792644277559198
694876952542385507090787994178975847242920161413382864074029121768864134380566809295007060283975909438019594542
738851774062911825088124290183903002504813582061995377536828637336952405252067622065571803705036891829972425431
956315836673931848692591849588531464176859632204218798514810238550816322676658789487645923777968702434093135079
915510437572711024840190521702143878865366814741969089801727905456148721335650799754496721366225877820309338198513904…,

A2=0.0254132611404785053204117740694788471052539657487680760322482313740315335248999061173745162264614602896553818
498582408701768350215055384051454139977274003352230826786431079440905035574904538220635897814737392941836621891
886527756935119330247087315218898184532332937925998076961062562102709536595260194238592679412978699085209178746
470595809505739257865210548980815939393548540855253256979692200828354709624973434637702485083471494074034661326
889509468336693731903092077741707366061650820193296045828936069993135976276765366733286144535744982865725056393
544689166838516339257986636623820696847017170154791712464673245808905997565355431205477543638812078548473648066
323210914842584549989352377908075909148493289006404937730732387276708089748969787004347528718837627625252697135
234001732834918154811796795234473682437422964572879185837558119322578526013907180633808171815291206343035360638
747335067907909400687617390124397955490325662314387986851103508488184188490810603966912361893971862289267629546
5853…,

A3=-0.026291323260780709375874073252262584179775839233514745808413183603973440533850656497411652936511999238239772
139467096696439391398034065319553220888366182406598710506137296410356939073207945372174449716241484372559277032
035830663164965043550625358237289067206890683439222116728159061690831066598280800051327898968058810786812057921
671855589073630248828040784286215355286363398882140179677694122264332527909266263943955088297579841575368833217
886683409067965026441210127889112083277743890934294891505319528239729592028698359555912496590582421996356565028
499221224204363461237596172040152871015654307000946861056203203782498494798460075427452324047365142469217085187
446714740157979820717291392442237339153864531658765484508344166639027421478810549716439222353519846498758614686
903894735373059433976010967200280521640995973386530232177989379081134964718475443595769091078466642706993662219
461669453186267943233888020923588483969815686487252714154468049458266684741439376234703576530267495493793097487
14425…,

A4=0.0476480983522143238974848242999231893790264122347342777668056584185079779596959130148994117399762169191486833
735520686926447610826952581196502637586185596428858789628871174766932320627618055571723468861121852163454217731
522764471247316674535703218158687326684470023064699698865936479716073203088003758727437508098172840269114527943
848279631414718958098639557766302870654798914947512081972640338538317054407844953351601721007004838596312137821
276888327296768834036333747002411341222428411986354162737891003338808594149699138297313001593179427504526171553
402667031752908462471112762643455534435426920850388682966817662580023716742309033787168138282696737136438157641
959390540990442688464105926211722983271064023135344749422997937834158014840666337197597049312075581042486896071
198899443936653947504871853574196743861504827282018987706729440680167866339202834592983004995870117455175544906
447783777985292697575336035374104496792292920920510727274551124318186540958437581502594229843081363517119913602
6852…,

A5=-0.132562819359542084626771097447167353795245605521287936544593598516888065917504304672713142536283518565688982
710844070549979697597688642915110369494077734060171707752381842858157768402510246317067417931687317845173400735
368801315522133086435676995647844767915088867735414295216322374287013934972102628794098883448671024906054054399
549394196168711501895774814118241931244157197111136346852619506649926952275362630020677359304769068730885929176
738133317366970698638714984880106948184398900393381806237346140873817002454989646418471203762336115544697941812
214940579576151935005593672655682605692104460875237063016020075953421636214125318011892585312596128334286190091
096113182682831286283171373279772901050395974495552040664797186404118042723269001366861171092395762928053986095
873679629637215398515783995994101348508638037579040001076939127193064374067108877511234448731319527841545598088
440481997746167971622424919569516340133038038271937744450460159098053738163539856238935822340435243375343443355
6077…,

A6=0.5236309567372813746331887469610731999363879908155227550676945596176691079426377021423314055510979561013491044
799855036667009102675841943831628953546350386086297403185328755282126545090335463412903517117367866345160425786
690575204949552778559922772495207541021791750897575843800134975991190292380571682836896377944675129697065425951
585269604086874908689006259634618888103033774358160136290019156407616940581366573210677564869701505749351692959
191840739580294180166877284454980345084943344903553311493107317780762782946853036310745421481904594439653610356
294177178911441739396331146026391084449514723174739024840898694089466715138004697231372237452666249109490268932
569469335103998449295417996271269652386568788385238546241373940315080770335636316296273419087011362608395446704
184611929459568761356196187542642095372193599946417937438356111211774227062394678571746065665078044632484712685
432284728422533715452591207389825991383469261181046713387988883180625686963986750408543109931204838815711818241
150…,

A7=-2.785126115035371856251640995849607922134300207069245195225403374833072783083542422552441563111173399410317728
825700667451769512494495900259863838489940731033922832149596962960842373116253024009850873730658166630203237686
647109914815388998467819138336321156140090590590824807163815575404994973639380348989809841530990473480304305079
002191738504530968362186750128842140962839242001233421596113551965470329386288452541842734055724251083572561548
914518683504488311327633157206602044253033581806244558265398372125425375950796203769276645357843673697467054020
197984481588430463972281421357396156869497582103923782975402491412847520015366379131085146335355695326506214682
819629905376631775461887849867178799756450331885777723903656042935608387555563949673237987286198247667135956304
780915429353187476873982617291056363231498835806080316269423664729384912404515172177465063367426684119697800179
476789023174232710856504300812262872754888185989424726962770006888169735384183459311077137403982545584608353122
724…,
A8=19.188634274938874680941423079784813157085071447209634641552258026956729435244230655834324923503028741291162712
883474377044216945256322071644535602289629416431628566154483807250716967086206489129833310371963630805902380716
618201542074110658775061690368778142371631721012599377369735513619560639766881770799957667711210262627658076248
580878668517408763993625775590423390000377475242564912420563263220321134414534189650661463036230118038001106712
651408269508570969983040271086496504481463870365496156837698208163106371871490583276735714186649321208956330224
520875694363997330408774646900108900373193671520094086901077523392194996310120805731400192324112228963522293587
666205962018368765735423040047284052632754627919151152074229598420246269139277186347051552088805418861030345700
405354912889924641836214105910040351038955750958669244636273468565703977015455587748719153122852996676858071626
413278006709169836529885370327728478307581034399330299238991023645520495371969365417078767852697321052546449572
15…,

A9=-166.2294419078822144379689376803488088545828145545049758084963774496348360499893879975852036363604507320011960
658885440959813336621764520561831012267203838264585856144472236076990664899961811906335774085848716637874766442
035632686488828908902939254586836730074614296455858330856729944910464133962677331957756379589786010952153780260
753284054045284725099740466576927173026907828330664674791607502880320709343969301681279226140651718729854747363
192407358833881784167170198847305673026931130317023011775229647235304751448788324305311569992424325708097811968
746666716885372048832508858175719679381595898676718151474513534378226711273515724522465164532731456169864594899
239615557047151555837162786951876956233504067808774330327513499096528835087475641504836075861021810298813094286
479629996646345764578572591219022138452040270474600728113247930543111720227546915947076141099287005325027643834
480444199232494010679456683064247582674785087250909066350677971806201560087633887783350443089155825214757939963527…,

A10=1768.4666689134557020389156427673702325948246967338451368875807110141940170574400578032193886214970695963790852
882823975401362827150025986125225307966225244957949689759825919377081774303248218758291631477441833740760871915
961897401193802753789450346785135256357426511801505740065906879055123519897706457373947700705206354637606177704
857275797133220093933744548608399845689037375898244795957542373374545951548745666680261377942918817254321164102
348041517127199330927657355834759681496326866165562758205359830508495787203692852294546005800032381703258959145
663526231982620560174242257461119919326920729475955914970667821773297993695375540458403816874951231585701533630
913841058762219104985556445101553348644244019620992317408136559792427866981520312391732293561522076652809386310
303105391448343825375602464927740903986487038201682324015821856388510830069961099110889132621580158315835789344
443051719468208323533140377719600107251317400318126136148101990415302410756190444481409199194160010995353250313
58…,

A11=-22666.65861182233580997041496511325538202435077547930324336968861039756382281337922949951044127892800470608441
213782914423790890893127841023140518491711743007969537268914193565993641738496569494702994584816395242278807259
437439495907435663213873216143707253052686282508130374299555831759122398095096490317941725789837634912550621039
104382956909845510817890135507745192283562715347872126887520932429196929988932327103537298713484197899581950021
100248151973103007566520484519884376471693291651141506457620534815065763046963133825009382878863402859926617264
564870289911271330916273469226671177388824635355577894677554260016558267461802177193798715822445261108591884121
006771914796407609396909377154523294833887219839571606598673200023980922276178030823608683634268360628055944406
780718513735024944194340774463245660851720471480107997334674595309416089508256098068290189175561516082718498503
719174398231355892981060582015319564386145020862283425995457343869295020403284898314060139355221784073477061765
808…,

A12=344491.87116176440975891550753824486355737508778527063602532289536649215661376477781068352287647537657685491927
343079253801422203017160698770449403051760062897731158394051922950491622222625381118692119016205682252692592092
700898593211436855377787698652660519314104199032671711632155215547889556550210827900946282810615925775450120564
483351625582086441874695542146118834907113494946117632387380674833513306395512132992292408557573547906877975894
067243111403754772310702675671195611976635764089808585667867811049744190679359017129185215661440969338189438028
965798859933766134454787271566956801955817232413171769763457113974598036928537702430683246321215016466042040709
667373925858434889290442316875488971615302845033188473607920066803026348098174845071622015305498951369683016604
239539252178724741738403970643015592567232233934554399984620366535445754254782108749067813720231393256091443030
145280828355327211623357075465476593335194398475053314208081457893206566489444365032240484401934755434452113751
33…

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

 
A %d blogueros les gusta esto: