TARDÍGRADOS

Ciencia en español

Nueva conjetura sobre números primos y números de Fermat

Posted by Albert Zotkin en diciembre 6, 2012

Se define un número de Fermat como todo entero positivo que tiene la forma

F_n = 2^{2^n}+1

para todo número natural n, \{1,2,3,4,5,6,..., n,...\}.

Se sabe que todo número primero debe ser un número de Fermat, pero todo número de Fermat no es necesariamente un número primo.


Conjetura de Ribenboim:
los números de la forma

2^{2} + 1 \\ \\ 2^{2^2}+ 1 \\ \\ 2^{2^{2^2}}+ 1 \\ \\ 2^{2^{2^{2^{2^2}}}}+ 1  \\ \\ \dots

donde la exponenciación recursiva 2^2 se realiza un número primo de veces, son todos números primos


Esta clase de números es pues un subconjunto de los números de Fermat, y serán llamados números Ribenboim. Ejemplo: ¿alguien sabe si el número

R_5 = 2^{2^{2^{2^{2^2}}}}+ 1

es primo?.

Para tener una idea de la magnitud del número R_5, observemos que el número 2 aparece elevado al exponente 2^{2^{2^{2^2}}}, y este último es un número de 19729 cifras. Selfridge mostró en 1953 que el número F_{16}=2^{2^{16}}+1=2^{2^{2^{2^2}}}+1 \ no es un número primo (Ribenboim 1996, p. 88), aunque sí es monstruosamente largo,

\bf{ F_{16}=2^{2^{16}}=2^{2^{2^{2^2}}}+1 =}

Por lo tanto, el número R_5 se puede expresar también como

R_5 = 2^{2^{2^{2^{2^2}}}}+ 1 = 2^{(F_{16} \ -1)} +1

O tambien como

R_5 = 2^{2^{2^{2^{2^2}}}}+ 1 = 2^{2^{65536}}+ 1  = F_{65536}

Este número es intratable actualmente para cualquier test de primalidad, y ya ni hablamos de los sucesivos R_6, \ R_7, \ R_8, \ R_9, \dots. Así pues, encontrar un contraejemplo (si es que existe) para la conjetura de Ribenboim, creo que tardará un tiempecito🙂

Si intentásemos abordar ese númerito R_5=F_{65536}, por ejemplo, aplicando el teorema de Pépin, que dice que un número de Fermat F_n es primo, sí y sólo si

3^{2^{(2^n-1)}}\equiv -1 \ \pmod{F_n}

nos quedaría este monstruoso test de primalidad,

3^{2^{(2^{65536}-1)}}\equiv -1 \ \pmod{F_{65536}}

¡Intratable!

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