TARDÍGRADOS

Ciencia en español

Funciones Zeta de Riemann de grados superiores

Posted by Albert Zotkin en noviembre 13, 2012

La función Zeta de Riemann \zeta(s) se definió históricamente asi, para la variable compleja s:

\zeta (s) = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \; \cfrac{1}{n^s}

Euler encontró una sorprendente y notable identidad para esta función: Halló que

\zeta (s) = \displaystyle \prod_{p \;\text{prime}}\cfrac{1}{ 1-p^{-s}}

donde p corre a lo largo de todos los infinitos números primos.

Definamos ahora la función zeta de Riemann de segundo órden \zeta_2(s), así:

\zeta_2 (s) = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \; \cfrac{1}{p_n^s}

donde p_n es el n-ésimo número primo de la conocida sucesión de números primos \{1,2,3,5,7,11,13,17,19,23, ..., p_n, ...\}. Por lo tanto, la función \zeta(s) puede ser vista como la de primer órden, \zeta(s) = \zeta_1(s). Para esa función zeta de segundo órden, Euler no lo tendría tan fácil a la hora de encontrar una identidad basada en el operador productoria \prod . Sin embargo Euler demostró que la siguiente serie harmónica de números primos diverge,

\zeta_2 (1) = \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \; \cfrac{1}{p_k} =\infty

La función P(s)= \zeta_2(s) es también conocida como la función zeta prima, y es considerada una generalización de la función zeta de Riemann. Se puede demostrar que P(s) converge para s > 1.

Veamos ahora las primeras sucesiones de grado creciente

S_1 = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,\dots\}

S_2 = \{1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71, \dots\}

S_3 = \{1,3,5,11,17,31,41,59,67,83,109,127,157,179,191,211,241,277,283,331,353, \dots\}

S_4 = \{1,5,11,31,59,127,179,277,331,431,599,709,919,1063,1153,1297,1523,1787,1847,2221,2381, \dots\}

S_5 = \{1,11,31,127,277,709,1063,1787,2221,3001,4397,5381,7193,8527,9319,10631,12763,15299,15823,19577,21179, \dots\}

La implementación en Mathematica de estas cinco sucesiones de grado creciente es:

Table[n, {n, 20}]
Table[Prime[n], {n, 20}]
Table[Prime[Prime[n]], {n, 20}]
Table[Prime[Prime[Prime[n]]], {n, 20}]
Table[Prime[Prime[Prime[Prime[n]]]], {n, 20}]

Y por lo tanto las primeras funciones zeta de grado creciente son:

\zeta_1(s) =1+2^{-s}+3^{-s}+4^{-s}+5^{-s}+6^{-s}+7^{-s}+8^{-s}+9^{-s}+10^{-s} \dots

\zeta_2(s) =1+2^{-s}+3^{-s}+5^{-s}+7^{-s}+11^{-s}+13^{-s}+17^{-s}+19^{-s}+23^{-s}+29^{-s} \dots

\zeta_3(s) =1+3^{-s}+5^{-s}+11^{-s}+17^{-s}+31^{-s}+41^{-s}+59^{-s}+67^{-s}+83^{-s}+109^{-s} \dots

\zeta_4(s) =\displaystyle 1+5^{-s}+11^{-s}+31^{-s}+59^{-s}+127^{-s}+179^{-s} +277^{-s}+331^{-s}+431^{-s}+599^{-s} \dots

\zeta_5(s) =\displaystyle 1+11^{-s}+31^{-s}+127^{-s}+277^{-s}+709^{-s}+1063^{-s} +1787^{-s}+2221^{-s}+3001^{-s}+4397^{-s} \dots

Logicamente la función zeta de grado infinito sería la unidad

\zeta_{\infty}(s) =1


EJERCICIOS

1.Halla algunos ceros de \zeta_2(s).

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