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Ciencia en español

La reflexión de un rayo de luz en un espejo móvil falsaría la Relatividad Especial

Posted by Albert Zotkin en octubre 17, 2012

Una fuente de luz y un observador están en reposo en el mismo sistema inercial de referencia, donde r es el vector distancia entre ellos. Un espejo, que se mueve alejándose de ellos perpendicularmente a r por el punto medio, está ahora a una altura h, llevando una velocidad u y refleja luz de la fuente hacia el observador. Podemos conocer las componentes de velocidad v1 y v2 con respecto a la fuente y al observador respectivamente. Esas componentes de velocidad poseen la misma magnitud, v, asi que podemos escribir

u = v_1 + v_2 \\  v = |v_1| = |v_2|

Y en ángulo \alpha entre v_1 y v_2 es

\alpha = 2\tan^{-1}\left(\cfrac{|r|}{2h} \right)

por lo tanto,

|u| = 2 \cos \left ( \cfrac{\alpha}{2} \right )v \\ \\ \\  v = \cfrac{|u|}{ 2 \cos (\frac{\alpha}{2})}

El observador detecta el rayo reflejado como si procediera de la imagen tras el espejo. Puesto que el espejo se mueve con velocidad v1 con respecto a la fuente de luz y con v2 respecto al observador, crea una imagen virtual de la fuente de luz alejándose con una velocidad de w = 2v a lo largo de la linea de vista,

w = 2v = \cfrac{|u|}{\cos(\frac{\alpha}{2})}

Entonces, para esa velocidad virtual w, la cual puede incluso ser superluminal, porque no corresponde a ningún movimiento real entre fuente de luz y observador (recordemos que fuente de luz y observador están en reposo), podemos predecir una frecuencia Doppler observada desplazada hacia el rojo de la frecuencia original f0,

f = f_0 \exp \left (-\cfrac{w}{c} \right ) = f_0 \exp \left (-\cfrac{|u|}{c\cos(\frac{\alpha}{2})}  \right )

*Apéndice:
Desde un contexto de la Relatividad Especial, la predicción sería como sigue. Aplica una adición de velocidades de Einstein,

w =  \cfrac{2v}{1 + \frac{v^2}{c^2}}

Ahora aplica un Doppler relativista, así

f' = f_0 \displaystyle \sqrt{\cfrac{1 - \frac{w}{c}}{1 + \frac{w}{c}}}

Y después de un poco de álgebra, sabiendo que v = |u|/(2\cos(\alpha/2)), se obtiene que

f' = - f_0 \displaystyle \cfrac{|u| - 2c\cos(\frac{\alpha}{2}) }{|u| + 2c\cos(\frac{\alpha}{2})}

¿Dónde está el error engañoso en esta derivación?. Podemos ver que hay dos nociones erróneas, las cuales cuando actuan de forma cooperativa, intentan ligéramente compesar la respuesta errónea originando una medianamente decente. El primer error consiste en asumir que debe existir la siguiente adición relativista de las velocidades, w = 2v/(1 + v2/c2). Eso no tiene mucho sentido, es absurdo, ya que w es una velocidad VIRTUAL de la fuente de luz con respecto al observador (pero ambos están en reposo), no una velocidad real (esta puede ser incluso superluminal), una adición relativista de velocidades NO procede ser aplicada en tal caso. Si la w es superluminal , significa que, una vez que el observador detecta el rayo de luz como procedente de la imagen virtual tras el espejo, la información no es más rápida que la luz porque esa información ha viajado en realidad una trayectoria más larga que la de una linea recta desde la fuente de luz al observador, por lo tanto esa información viajó con la luz, no es superluminal. Este error de concepto que se comete en la relatividad especial es después ligeramente corregido cuando se aplica el Doppler relativista a f0 através de esa errónea w, obteniendose una predicción de frecuencia f’ que está muy próxima a la correcta f, que se ha ofrecido arriba. En realidad, f/f0 y f’/f0 sólo empiezan a diferir desde el tercer orden de sus respectivas series de potencias,

\cfrac{f}{f_0}=  1-\cfrac{\text{Sec}\left[\frac{\alpha }{2}\right] |u|}{c}+\cfrac{\text{Sec}\left[\frac{\alpha }{2}\right]^2 |u|^2}{2 c^2}-\cfrac{\text{Sec}\left[\frac{\alpha }{2}\right]^3 |u|^3}{6 c^3}+\cfrac{\text{Sec}\left[\frac{\alpha }{2}\right]^4 |u|^4}{24 c^4}-\cfrac{\text{Sec}\left[\frac{\alpha }{2}\right]^5 |u|^5}{120 c^5}+ ...\\ \\    \cfrac{f'}{f_0}= 1-\cfrac{\text{Sec}\left[\frac{\alpha }{2}\right] |u|}{c}+\cfrac{\text{Sec}\left[\frac{\alpha }{2}\right]^2 |u|^2}{2 c^2}-\cfrac{\text{Sec}\left[\frac{\alpha }{2}\right]^3 |u|^3}{4 c^3}+\cfrac{\text{Sec}\left[\frac{\alpha }{2}\right]^4 |u|^4}{8 c^4}-\cfrac{\text{Sec}\left[\frac{\alpha }{2}\right]^5 |u|^5}{16 c^5}+ ...

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