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Ciencia en español

Los límites asintóticos incorrectos de la Relatividad Especial: Relaciones de De Broglie Modificadas

Posted by Albert Zotkin en octubre 17, 2012

Ya demostré en el artículo Deducción de la fórmula del Doppler Completo usando un telescopio reflector Newtoniano que las siguientes relaciones son correctas en el contexto de la relatividad Galileana Completa:

1. Momento relativístico:

p = m c \sinh \left (\cfrac{v}{c} \right)

2. Energía total:

E= m c^2 \cosh \left (\cfrac{v}{c} \right)

3. Relaciones de De Broglie Modificadas:
3.1   La longitud de onda, \lambda, de una partícula cuyo momento es p,

\lambda = \cfrac{h}{p} = \cfrac{h}{m c \sinh(\frac{v}{c})}, \\ \\ \\  \lambda = \cfrac{\lambda_c}{\sinh(\frac{v}{c})}

donde \lambda_c es la longitud de onda de Compton

La relación 3.1 es bastante destacable ya que en un contexto de Relatividad Especial no podemos asociar un longitud de onda de Compton a ninguna \lambda, de una manera natural. Esta relación dice que \lambda = \lambda_c cuando \sinh(v/c)=1, y eso sólo ocurre cuando v/c = 0.881374\dots. En Relatvidad Especial, esa coincidencia sólo ocurre cuando v/c = \frac{1}{\sqrt{2}}=0.707107\dots
3.2 La frecuencia, f, de una partícula con energía total E es

f = \cfrac{E}{h} = \displaystyle m c^2 \frac{ \cosh \frac{v}{c}}{h} \\ \\ \\  f = \displaystyle c \frac{ \cosh \frac{v}{c} }{ \lambda_c }

3.3 El producto \lambda f entonces es,

\lambda f = c \coth \left (\cfrac{v}{c} \right)

En Relatividad Especial, la relación 3.3 es,

\lambda f = \cfrac{c^2}{v}

pero, podemos mostrar en dos simples representaciones gráficas que las funciones \mathrm{A}(v)= \cfrac{c^2}{v} y \mathrm{B}(v)= c \coth (\frac{v}{c}) convergen asintóticamente para todo v en el intervalo [-c, c].

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