TARDÍGRADOS

Ciencia en español

Frecuencia de resonancia del ciclotrón, sistemas caóticos y teoría de la relatividad

Posted by Albert Zotkin en octubre 12, 2012

Consideremos un ciclotrón clásico. Cuando un electrón es acelerado dentro de un ciclotrón, la frecuencia de resonancia se expresa como

f = \cfrac{eB_0}{2\pi m_0}

donde B_0 es el campo magnético transversal, e es la carga del electrón, y m_0 su masa. De momento todo está perfecto. Pero, empecemos a darle un poco de marcha al asunto. Cuando ese electrón empiece a circular suficientemente rápido, los supuestos efectos relativistas se harán significativamente intensos, y el electrón irá progresivamente desfasándose respecto al campo eléctrico oscilatorio. Este fenómeno puede ser explicado desde la relatividad especial, pero también es posible una explicación alternativa. Preguntamos, ¿por qué el electrón se desfasa a velocidades cercanas a la de la luz, c?. La respuesta parece ser muy fácil. Porque el comportamiento del ciclotrón se ha vuelto caótico. Así que debemos también preguntar, ¿es la relatividad especial una teoría correcta que explique esa conducta caótica?. Examinemos las condiciones iniciales cuando el electrón fue inyectado en el ciclotrón. Cualquier pequeña desviación de la fase de oscilación del campo eléctrico en ese preciso momento de inyección producirá significativamente grandes desviaciones de fase cuando la velocidad del electrón se aproxime a c, después de algunas vueltas de circulación. Esa conducta caótica puede ser fácilemente modelada por medio de una ecuación de sobreaceleración (jerk). Podemos considerar un ciclotrón como si fuera un sistema sobreacelerador, desde que se pueden observar movimientos caóticos. Deduzcamos la ecuación de arriba de la frecuencia de resonancia. Igualemos la fuerza centrífuga \frac{m_0v^2}{r} de un electrón con la fuerza magnética eB_0v,

f = \cfrac{m_0v^2}{r} =eB_0v\\ \\  \cfrac{v}{r} = \cfrac{eB_0}{m_0}

Vemos que v/r es su velocidad angular w, asi que podríamos fácilmente deducir la frecuencia de resonancia del ciclotrón como eB_0/(2 \pi m_0). Pero, en lugar de deducir directamente dicha frecuencia f, podemos empezar desde w=eB_0/m_0, e intentar ver cómo esta ecuación debe formar parte de una ecuación de sobreaceleración la cuál produzca conducta caótica. Sabemos expresar la velocidad angular así w= d(\phi)/dt. Hay un montón de ecuaciones de sobreaceleración que producen conducta caótica ajustando algunos parámetros, así que estamos buscando una con la que podamos modelar la conducta caótica de un ciclotrón, si es que es posible. Una pregunta bastante razonable sería ¿cuál es la ecuación de sobreaceleración más simple que da origen a conducta caótica?.
Algunos sistemas descubiertos por Sprott [1] tienen formas simples de sobreaceleración. Y el “más simple flujo caótico disipativo” se puede expresar mediante una sobreaceleración como esta:

\cfrac{d(\phi)}{dt} =y, \;\;\cfrac{dy}{dt} =z\\ \\  \cfrac{dz}{dt} =-az+y^2 -x\\ \\

donde \phi es el desplazamiento (en nuestro caso del ciclotrón, \phi es la fase y ‘a’ es parámetro ajustable.
Por otro lado, Fu y Heidel (1997) [2] descubrieron que sistemas disipativos cuadráticos con menos de cinco términos no pueden ser caóticos. No tendrían parámetros ajustables.
Consideremos ahora la frecuencia de resonancia relativista del ciclotrón,

f_r = f \displaystyle \sqrt{1 -\frac{v^2}{c^2}} \\ \\ \text{donde} \\ \\ f= \displaystyle \frac{eB_0}{2 \pi m_0}

que expresada en función de la velocidad angular w=2\pi f,

w_r = w \displaystyle \sqrt{1 -\frac{v^2}{c^2}}

Sabemos que v= wr = d(\phi)/dt, por lo que llamando w = d(\phi)/dt =y, tenemos,

w_r = y \displaystyle \sqrt{1 -\frac{(ry)^2}{c^2}}

donde el radio r de la órbita circular del electrón puede ser visto aquí como un parámetro ajustable. Claramente vemos que w_r no es una ecuación de sobreaceleración, pero ¿Puede dar lugar a movimiento caótico?. No lo sé. En esta ecuación el desplazamiento x=\phi no existe, ni nada que se le parezca. En el contexto de la relatividad especial, las condiciones iniciales x_0=\phi_0 simplemente no se consideran, pero sospecho que deberían jugar algún papel puesto que las conductas caóticas sí se observan para velocidades relativistas v \rightarrow c.

Podemos intentar lo siguiente. Expresemos la frecuencia f = eB_0/(2\pi m_0) como velocidad angular w = eB_0/m_0 = y, y asumamos que es sólo parte de “el más simple flujo disipativo” anterior. Entonces obtendríamos,

\cfrac{dz}{dt} =-az+ \left (\cfrac{Bq}{m}\right)^2 -x\\ \\

como un modelo de ciclotrón con conducta caótica relativista, una vez que hemos aplicado correcciones de análisis dimensional en él.


REFERENCIAS
[1] Sprott JC (1997). “Some simple chaotic jerk functions” (PDF). Am J Phys 65 (6): 537–43. 
{2} Fu, Z.; Heidel, J. (1997). “Non-chaotic behaviour in three-dimensional quadratic systems”.10(5): 1289. 1997Nonli..10.1289F: 10.1088/0951-7715/10/5/014.

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