TARDÍGRADOS

Ciencia en español

Una nueva definición muy útil de espacio-tiempo

Posted by Albert Zotkin en octubre 7, 2012

1. Espacio-tiempo genuino

Empecemos desde una cinemática de aceleración constante e integremos dicha aceleración, a, con respecto al tiempo, t,  para obtener la velocidad v:

v=v_0 +at

Ahora integremos dicha velocidad v respecto al tiempo para llegar al espacio r

r=r_0 +v_0t+\cfrac{at^2}{2}

Hasta ahora todo parece ir bien, por caminos bien conocidos y seguros, ya que las magnitudes a, v0, y r0, son todas  constantes, y el significado físico de cada magnitud está más que sabido. Sin embargo, sigamos integrando r con respecto al tiempo para obtener un … espacio-tiempo, s

s=s_0 +r_0t+\cfrac{v_0t^2}{2}+\cfrac{at^3}{6}

Esa magnitud s será llamada espacio-tiempo genuino, porque si divides por un espacio obtienes un tiempo, y si divides por un tiempo obtienes un espacio. Así, podemos decir que

“Un intervalo de espacio es la  ratio de cambio del espacio-tiempo genuino con respecto al tiempo”

r= \cfrac{ds}{dt}

Empecemos ahora desde una dinámica de gravedad constante, e integremos con respecto al desplazamiento r para obtener el potencial, ϕ,

\phi= \phi_0 +gr

Continuemos integrando hasta llegar a un  ψ y a un  ω

\psi= \psi_0 +\phi_0r+\cfrac{gr^2}{2} \\ \\  \omega=\omega_0+\psi_0r+\cfrac{\psi_0r^2}{2}+\cfrac{gr^3}{6}

Al llegar a este punto vemos que ω  debe ser también un espacio-tiempo genuino como se definió arriba en la cinemática, porque la tercera derivada de un espacio-tiempo genuino con respecto al espacio es un campo gravitatorio, g, y la tercera derivada de un espacio-tiempo genuino con respecto al tiempo es una ‘aceleración cinemática’.

 

Corolario 1:

En la dinámica de arriba, ψ juega el rol de la fuente de gravitación, y ω es el espacio-tiempo, por lo tanto la ‘fuente’ de la fuente de gravitación es el mismo espacio-tiempo genuino.

2. Redefinición de acción

Podemos ahora facilitar la definición general de acción, S, como la siguiente integral de línea,

S= \displaystyle \int_C{Fds}

donde C es el  intervalo de espacio-tiempo genuino atravesado por la partícula, F  es el vector fuerza, y s es espacio-tiempo genuino. Por lo tanto, una acción es como el trabajo total realizado por una fuerza a lo largo de un intervalo de espacio-tiempo genuino.

Corollario 2:

La relación matemática entre una línea de universo de Minkowski,
s_m   , y un intervalo de espacio-tiempo genuino, s , es

s_m = \displaystyle \int_a^b{\sqrt{1+s'^2}dt}

donde

s' =\cfrac{ds}{dt}

Con otras palabras, s_m   es la línea de universo de Minkowski, y el espacio-tiempo genuino es el área debajo de él.

Para que esto tenga algún sentido, tienes que girar el diagrama de espacio-tiempo de Minkowski de tal forma que el tiempo esté representado en el eje horizontal y el espacio en el eje vertical. Una vez que se ha hecho así, se puede ver cómo la linea de universo es una **función** del tiempo. Y eso tiene bastante importancia, ya que el tiempo debe ser irreversible. Esa es la razón por la que teorías deterministas, como la Relatividad Especial, no pueden ser correctas. ¿Qué ocurre si la linea de universo no se comporta como función del tiempo?. En tal caso se podrían obtener resultados absurdos, como por ejemplo que una partícula estuviera localizada en dos o más lugares diferentes simultáneamente (al mismo tiempo).

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