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Colisiones protón-protón en el LHC modeladas mediante Relatividad Galileana Completa

Posted by Albert Zotkin en octubre 7, 2012

En el LHC cada protón puede alcanzar una energía total de 7 TeV. Eso significa que en el contexto de la RGC (Relatividad Galileana Completa), podemos escribir dicha energía total como:

\displaystyle E= mc^2 \cosh\left (\cfrac{v}{c} \right )


ATLAS Experiment © 2012 CERN

Con lo cuál podemos calcular la \beta=v/c  ,

\displaystyle \cfrac {v}{c} = \cosh^{-1} \left (\cfrac{E}{mc^2} \right )

Que para esa energía de 7 TeV, será

\displaystyle \cfrac {v}{c} = \cosh^{-1} \left (\cfrac{7\times 10^{12}\; \mathrm{eV}\times 1.602\times 10^{-19}\; \mathrm{J/eV} }{1.67\times 10^{-27}\; \mathrm{kg}\; (3\times 10^8\; \mathrm{m/s})^2} \right )    \\ \\  \displaystyle \cfrac {v}{c} = \cosh^{-1} \left (7461.08 \right ) = 9.6106

Y eso quiere decir que tenemos una velocidad de uno de los protones respecto al centro de masas de

\displaystyle v \approx 9.61 \; c

O una velocidad de aproximación de un protón respecto del otro de:

\displaystyle v' = 2 v \approx 19.22 \; c

Algún apasionado de la relatividad de Einstein podría acalorarse, al leer lo que hay escrito arriba, podría perder la compostura y lanzar un berrido del tipo:

“!Eso es mentira!!!!!! !Nada puede viajar más rápido que la luz en el vacio!!!”

Pero entonces yo le invitaría a que se calmara, porque el contexto no es el de la Relatividad Especial (RE), sino como he dicho arriba el de la RGC. Es posible establecer una relación entre ambas teorías. Lo que en la RGC es una \beta=v/c  , en la RE es una rapidez (rapidity), \theta  . La relación matemática entre ambas magnitudes que, hay que dejar bien claro, pertenecen a teorías distintas, es \beta=\tanh(\theta)  .
¿Cuántas vueltas dará al cabo de 1 segundo uno de esos protones circulando por el LHC a 7 TeV?. Sabiendo que la longitud de la circunferencia del LHC es L = 2\pi r = 26679 \;\mathrm{m} , tenemos

\displaystyle N = \cfrac{v}{2\pi r} \\ \\ \\  N = \cfrac{299792458 \times 9.6106 }{26659} \\ \\  N = \cfrac{2881185396.8548}{26659} = 108075.524 \; \mathrm{vueltas/segundo}

Obviamente, 9.61 veces más vueltas que las que se predicen desde la RE. La frecuencia de circulación es pues aproximadamente de

\displaystyle f \approx 108 \;\mathrm{kHz}

Si cada t=24.95\; \mathrm{ns} se inyecta un nuevo haz de protones, entonces la distancia entre dos haces consecutivos será de

\displaystyle d = v t \approx 71.883 \; \mathrm{m}

Otro interesante problema es saber cuántas vueltas al LHC podrá dar un protón de un haz antes de que la gravedad lo desvie y lo haga colisionar contra las paredes del tubo de vacio por el que circula. Sabemos que el radio de ese tubo de vacio es aproximadamente de h \approx 28 \;\mathrm{mm} , por lo tanto tenemos que

\displaystyle t = \sqrt{\cfrac{2h}{g}} \\ \\ \\  t=76 \;\mathrm{ms}

que multiplicado por el número de vueltas por segundo, N, tenemos

\displaystyle n = N t =108075.524 \times 76 \times 10^{-3} \approx 8213.74 \;\mathrm{vueltas}

Calculemos ahora cuál sería la aceleración centrípeta de un protón que circula a 7\; \mathrm{TeV}. La ecuación de la aceleración centrípeta es

\displaystyle a_c = \cfrac{v^2}{r}

donde v es la velocidad tangencial y r es el radio de la trayectoria circular por la que se mueve el protón. Como dicha velocidad v se ha calculado anteriormente, siendo v\approx 9.61c, y el radio es r = 4242.91 \mathrm{m}, tenemos,

\displaystyle a_c = \cfrac{(9.61c)^2}{4242.91} = 1.95625\times 10^{15} \;\mathrm{m/s^2} \\ \\ \\

Por lo tanto sería 1.99617\times 10^{14} veces la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre.

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