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La función Zeta de Riemann definida en términos de integrales múltiples

Posted by Albert Zotkin en enero 8, 2013

Es bien sabido que la función Zeta de Riemann puede ser expresada mediante la integral múltiple,

\displaystyle    \zeta(n)=\underset{n}{\underline{\ \int_0^1...\int_0^1}}\frac{\prod_{i=1}^{n}dx_i}{1-\prod_{i=1}^{n}x_i}

Pero, el otro día, cuando estudiaba la constante de Apéry, \zeta(3), expresada mediante la integral múltiple

\displaystyle    \zeta(3)= -\frac{1}{2}\int _0^1\int _0^1\frac{\ln(x y)}{1-x y}dxdy

descubrí, integrando con Mathematica, estas constantes zeta,

\displaystyle   \int_0^1 \frac{\ln x }{1-x } \, dx =-\frac{\pi ^2}{6} = - \zeta(2) \\ \\  \\  \int _0^1\int _0^1\frac{\ln(x y)}{1-x y}dxdy =-2\zeta(3) \\ \\ \\  \int _0^1\int _0^1\int _0^1\frac{\ln(x y z)}{1-x y z }dxdy dz =-\frac{\pi ^4}{30} = - 3\zeta(4) \\ \\ \\  \int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\frac{\ln(x y z w)}{1-x y z w}dxdy dz dw =-4 \zeta(5) \\ \\ \\   \int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\frac{\ln(x y z w t)}{1-x y z w t}dxdy dz dw dt =-\frac{\pi ^6}{189}= - 5\zeta(6) \\ \\  \\  \int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\frac{\ln(x y z w t r)}{1-x y z w t r}dxdy dz dw dt dr =-6\zeta(7) \\ \\  \\  \int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\frac{\ln(x y z w t r s)}{1-x y z w t r s}dxdy dz dw dt dr ds =-\frac{7\pi ^8}{9450}= - 7\zeta(8)

Es decir, por si nadie se había percatado hasta ahora, la función Zeta de Riemann también puede ser expresada mediante la integral múltiple siguiente:

\displaystyle    \zeta(n+1)=-\frac{1}{n}\ \underset{n}{\underline{\ \int_0^1...\int_0^1}} \dfrac{ \ln(\prod_{i=1}^{n}x_i) \ \prod_{i=1}^{n}dx_i}{1-\prod_{i=1}^{n}x_i}

Resultaría bastante sorprendente comprobar que esta última expresión de la función Zeta de Riemann en una integral múltiple no aparezca en ningún paper, ni hayan referencias al respecto. No puedo creerme que sea yo la primera persona que descubrió tal hecho. Le agradecería mucho a cualquier amable lector que pudiera ofrecerme alguna referencia que indicara que dicha integral múltiple ya fue descubierta y usada en la literatura de las matemáticas.

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