TARDÍGRADOS

Ciencia en español

Números de Bernoulli y las fracciones continuas espejo

Publicado por Albert B. Zotkin en enero 29, 2013

Los números de Bernoulli son una secuencia infinita de números racionales que pueden ser definidos por la siguiente función generadora exponencial:

\displaystyle  \cfrac{x}{e^x-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\cfrac{B_n x^n}{n!}  (1)
Esto significa que podemos construir la fracción continua espejo de esa función generadora exponencial así,

\displaystyle  \cfrac{x}{e^x-1}=B_0+\cfrac{B_1+\cfrac{B_2+\cfrac{B_3+\cfrac{B_4+\cfrac{B_5+\cfrac{B_6+\cfrac{B_7+\cfrac{B_8+\dots}{(8/x)}}{(7/x)}}{(6/x)}}{(5/x)}}{(4/x)}}{(3/x)}}{(2/x)}}{(1/x)}  (2)
La primera pregunta que nos podemos hacer es ¿cómo sería la fracción continua ordinaria de (2) y si converge?. La respuesta no se hace esperar:

\displaystyle   B_0+ \cfrac{(1/x)}{B_1+ \cfrac{(2/x)}{B_2+ \cfrac{(3/x)}{B_3+ \cfrac{(4/x)}{B_4+ \cfrac{(5/x)}{B_5+ \cfrac{(6/x)}{B_6+ \cfrac{(7/x)}{B_7+ \cfrac{(8/x)}{\dots}}}}}}}}=\cfrac{x-2}{x}  (3)
Mira (3) bien y alucina. Hasta ahora nadie fue capaz de presentar los números de Bernoulli mediante una función generadora tan simple como (x-2)/x en forma de fracción continua. ¿Es cierto eso o me estoy pasando en arrogancia?. Pues, por increible que pueda parecer, esta función generadora (3) no aparece en ningún otro paper, ni hay referencia alguna en la historia de las matemáticas. Si algún amable lector es capaz de encontrar alguna referencia a (3) en la historia universal de las matemáticas le daré un premio.

Apología de la heterodoxia:
Pregunta:¿por qué hasta ahora nadie pudo llegar a (3) desde (1)?. Respuesta: porque existe el firewall intermedio (2), es decir, una heterodoxia, algo que está fuera de lo estándar. Las fracciones continuas espejo no forman parte aún de la doctrina oficial, y por lo tanto, nadie hasta ahora pudo percatarse de que la definición (1) es en realidad una fracción continua espejo. Una vez que podemos visualizar la fracción continua espejo es fácil construir su pareja como fracción continua ordinaria, pero para eso hay que usar la heterodoxia, salirse de lo estandarizado y descubrir nuevas fronteras desde las que vislumbrar paisajes nuevos, o desde las que ver los objetos ya conocidos desde nuevas perspectivas.

Y para finalizar este breve pero intenso post, podemos expresar (3) como serie de Taylor, así:

\displaystyle   \cfrac{x-2}{x} = -1+2\sum_{n=0}^{\infty}(1-x)^{-n}  (4)

Saludos
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